空间向量与立体几何

海量资源尽在星星文库：空间向量与立体几何一、选择题和填空题1．（海淀·理科·题5）（海淀·文科·题6）一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（）A．63B．8C．83D．12第5题【解析】A；设该三棱柱底面边长为a，高为h，则左视图面积为23h．由三视图可得：2312343232aha，解得43ah．于是2363h为所求．2．（丰台·理科·题10）（丰台·文科·题9）若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm），侧视图俯视图主视图326则该几何体的体积是3cm．【解析】243；223326324344sin60VShah．3．（石景山·理·题4）（石景山·文·题4）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：2cm）为（）A．80B．60C．40D．20海量资源尽在星星文库：【解析】A；几何体如图，是正四棱锥，底边长8，侧面底边上的高为5，因此侧面积为1854802．4．（西城·理·题8）如图，平面平面，=直线l，,AC是内不同的两点，,BD是内不同的两点，且,,,ABCD直线l，,MN分别是线段,ABCD的中点．下列判断正确的是（）A．当||2||CDAB时，,MN两点不可能重合B．,MN两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交D．当,ABCD是异面直线时，直线MN可能与l平行lNMDCBA【解析】B；若,MN两点重合，由,AMMBCMMD知ACBD∥，从而AC∥平面，故有ACl∥，故B正确．5．（西城·文·题8）如图，平面平面，=直线l，,AC是内不同的两点，,BD是内不同的两点，且,,,ABCD直线l，,MN分别是线段,ABCD的中点．下列判断正确的是（）A．当||2||CDAB时，,MN两点不可能重合B．当||2||CDAB时，线段,ABCD在平面上正投影的长度不可能相等C．,MN两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交D．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交海量资源尽在星星文库：【解析】C；若,MN两点重合，由,AMMBCMMD知ACBD∥，从而AC∥平面，故有ACl∥，故C正确．6．（东城·理·题9）下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为．俯视图侧（左）视图正（主）视图222211【解析】43；由俯视图得此三棱锥的底面三角形面积为2，又高为2，故体积为43．7．（东城·文·题3）已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积是（）A．622B．62C．522D．52俯视图侧视图主视图122111【解析】C；由三视图知该几何体为一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，它的表面积为1(112)22115222．海量资源尽在星星文库：．（宣武·理·题10）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是3cm．1112210题图俯视图左视图正视图【解析】6；几何体如图所示，正面为22的正方形，侧面为直角梯形，两个底边长分别为1和2，因此不难算出体积为3122262cm．9．（宣武·文·题11）若将下面的展开图恢复成正方体，则ABC的度数为．11题图CBA【解析】60；恢复的图形如图，ABC△是正三角形，60ABC．CBA海量资源尽在星星文库：．（崇文·理·题5）（崇文·文·题6）已知,mn是两条不同直线，,,是三个不同平面，下列命题中正确的为()A．若,,则∥B．若,,mn则mn∥C．若,mn∥∥，则mn∥D．若,,mm∥∥则∥【解析】B；A中,可以是任意关系；B正确；C中,mn平行于同一平面，其位置关系可以为任意．D中平行于同一直线的平面可以相交或者平行．11．（崇文·文·题3）有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm），该几何体的表面积和体积为（）A．2324πcm,12πcmB．2315πcm,12πcmC．2324πcm,36πcmD．以上都不正确俯视图侧（左）视图正（主）视图56【解析】A；易知几何体为母线长为5cm，底面直径为6cm的圆锥．于是表面积为2π35π315π+9π24π；体积为21π3412π3．12．（朝阳·理·题4）一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④侧视图正视图2232【解析】B；海量资源尽在星星文库：，2的矩形；亦可能为半长轴为3，半短轴为2的椭圆．13．（朝阳·理·题8）一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为2，二面角DACB的余弦值为13，则下列论断正确的是（）A．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3π．B．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4πC．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为33πD．不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上．【解析】A；易知四面体ABCD为边长为2的正四面体．容易计算有其外接球的半径为32．于是外接球的表面积为234π3π2．14．（朝阳·文·题8）如图，设平面,,EFABCD，垂足分别为,BD，且ABCD，如果增加一个条件就能推出BDEF，给出四个条件：①AC；②ACEF；③AC与BD在内的正投影在同一条直线上；④AC与BD在平面内的正投影所在直线交于一点．那么这个条件不可能．．．是（）A．①②B．②③C．③D．④FEDCBA【解析】D；在①②③的条件下，均有BDEF．若能证明EF面ABCD．由BD面ABCD，则可证明BDEF．①中ACACEF．又由EFAD，知EF面ABCD．②中由ACEF，ABEF知EF面ABCD．③由面ABCD在内的正投影为直线，知面ABCD．又面ABCD，EF，知EF面ABCD．15．（朝阳·文·题12）如下图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为．海量资源尽在星星文库：俯视图侧视图正视图【解析】3π2．易知该几何体是底面直径为1，高为1的圆柱．于是其全面积为213ππ11π222．二、解答题16．（海淀·理科·题17）如图，三棱柱111ABCABC中，侧面11AACC底面ABC，112AAACAC，ABBC，且ABBC，O为AC中点．⑴证明：1AO平面ABC；⑵求直线1AC与平面1AAB所成角的正弦值；⑶在1BC上是否存在一点E，使得//OE平面1AAB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．【解析】⑴证明：因为11AAAC，且O为AC的中点，所以1AOAC．又由题意可知，平面11AACC平面ABC，交线为AC，且1AO平面11AACC，所以1AO平面ABC．⑵如图，以O为原点，1,,OBOCOA所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系．由题意可知，112AAACAC，又,ABBCABBC∴1,12OBAC．所以得：0,0,0O，0,1,0A，10,0,3A，0,1,0C，10,2,3C，1,0,0B，则有：海量资源尽在星星文库：10,1,3AC，10,1,3AA，(1,1,0)AB．设平面1AAB的一个法向量为,,xyzn，则有103000AAyzxyABnn，令1y，得1x，33z所以31,1,3n．11121cos,7|||ACACACnn|n．因为直线1AC与平面1AAB所成角和向量n与1AC所成锐角互余，所以21sin7．⑶设000,,Exyz，1BEBC即0001,,1,2,3xyz，得000123xyz．所以1,2,3E，得1,2,3OE令//OE平面1AAB，得=0OEn，即120，得12，即存在这样的点E，E为1BC的中点．17．（海淀·文科·题17）如图：在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，60ABC，PA平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，且2PAAB．NMACBP⑴证明：BC平面AMN；⑵求三棱锥NAMC的体积；⑶在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．海量资源尽在星星文库：【解析】⑴因为ABCD为菱形，所以ABBC又60ABC，所以ABBCAC，又M为BC中点，所以BCAM而PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC又PAAMA，所以BC平面AMN⑵因为11331222AMCSAMCM△又PA底面ABCD，2PA，所以1AN所以，三棱锥NAMC的体积13VAMCSAN1331326⑶存在取PD中点E，连结NE，EC，AE，因为N，E分别为PA、PD中点，所以NEAD∥且12NEAD又在菱形ABCD中，CMAD∥，12CMAD所以NEMC∥，NEMC，即MCEN是平行四边形所以//NMEC，又EC平面ACE，NM平面ACE所以MN//平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，此时122PEPD．18．（丰台·理科·题16）如图，在底面是正方形的四棱锥PABCD中，PA面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．⑴求证：BDFG；⑵确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由．⑶当二面角BPCD的大小为2π3时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．PGFEDCBA【解析】⑴∵PA面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E，∴PABD，ACBD．∴BD平面APC，∵FG平面PAC，∴BDFG⑵当G为EC中点，即34AGAC时，FG∥平面PBD，理由如下：连结PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FGPE∥，而FG平面PBD，PB平面PBD，故FG∥平面PBD．海量资源尽在星星文库：⑶作BHPC于H，连结DH，∵PA面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴PBPD，又∵BCDC，PCPC，∴PCBPCD△≌△，∴DHPC，且DHBH，∴BHD是二面角BPCD的平面角，即2π3BHD，∵PA⊥面ABCD，∴PCA就是PC与底面ABCD所成的角连结EH，则EHBD，π3BHE，EHPC∴tan3BEBHEEH，BEEC∴3ECEH，∴3sin3EHPCAEC，∴2tan2PCA∴PC与底面ABCD所成角的正切值是22．另解：以A为原点，AB、AD、PA所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形ABCD的边长为1，则0,0,0A，1,0,0B，1,1,0C，0,1,0D，0,0,Pa0a，11,,022E，11,,222aF，,,0Gmm02m．⑴1,1,0BD，11,,222aFGmm，110022BDFGmm∴BDFGzyxDABCEFGP⑵要使F