第3章331同步训练及解析高中数学练习试题

1人教A高中数学必修3同步训练1．面积为S的△ABC中，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为()A.12B.13C.14D.16解析：选A.向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝△ABD的面积△ABC的面积＝12.2．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是()A.112B.38C.116D.56解析：选C.到达路口看到红灯或黄灯或绿灯亮是一次试验，则该试验的结果有无限个，属于几何概型．设看到黄灯亮为事件A，构成事件A的测度是5，试验的全部结果构成的区域测度是30＋5＋45＝80，则P(A)＝580＝116.3．在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|1的概率为()A.78B.56C.34D.12解析：选A.V球＝43π×23＝323π，当|OP|≤1时，球的体积为43π×13＝43π，|OP|1的概率为P＝1－43π43π×23＝78.4．在区间[－1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．解析：由|x|≤1，得－1≤x≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率P＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23.答案：231．先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上颜色，再将该正方体均匀切割成棱长为1的小正方体，现从切好的小正方体中任取一块，则所得正方体的六个面均没有涂色的概率是()A.14B.16C.19D.127解析：选D.由题意，正方体被切割成27块，六个面均没有涂色的只有最中间那一块，则其2概率为127.故选D.2．在2010年山东省召开的全国糖茶博览会期间，4路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A.110B.19C.111D.910解析：选C.记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，则A所占时间区域长度为1min，而整个区域的时间长度为11min，故由几何概型的概率公式，得P(A)＝111.3．x是[－4,4]上的一个随机数，则x满足x2＋x－2≤0的概率是()A.12B.38C.58D．0解析：选B.求出x2＋x－2≤0的解集为[－2,1]，区间[－2，1]的长度为3，区间[－4,4]的长度为8，长度之比即是所求的概率为38.故选B.4．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域(如图所示)，并涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，则对指针停留的可能性下列说法正确的是()A．一样大B．蓝白区域大C．红黄区域大D．由指针转动圈数决定解析：选B.指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，显然，蓝、白区域大．故选B.5．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径的概率为()A.12B.13C.34D.23解析：选D.如图所示，图中AB＝AC＝OB(半径)，则弦长超过半径，即是动点落在阴影部分所在的扇形圆弧上，由几何概型的概率计算公式，得P＝240πOB1802πOB＝23.故选D.6．在面积为S的△ABC的内部任取一点P，则△PBC的面积小于S2的概率为()3A.14B.12C.34D.23解析：选C.EF为△ABC的中位线．当点P位于四边形BEFC内时，S△PBC的面积小于S2，又∵S△AEF＝14S，SBEFC＝34S.∴△PBC的面积小于S2的概率为P＝34SS＝34.7.如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________．解：记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域测度是60°，所有基本事件对应的区域测度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝60°360°＝16.答案：168．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．解析：先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×43π×13＝23π.则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：23π2π＝13，故点P到点O的距离大于1的概率为：1－13＝23.答案：239．如图，正方形OABC的边长为2.(1)在其四边或内部取点P(x，y)，且x，y∈Z，则事件“|OP|1”的概率________．(2)在其内部取点P(x，y)，且x，y∈R，则事件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于23”的概率是________．解析：(1)在正方形的四边和内部取点，P(x，y)且x，y∈Z，所有可能的事件是(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，其中满足|OP|1的事件是(0,2)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，所以满足|OP|1的概率为23.4(2)在正方形内部取点，其总的事件的包含的区域面积为4，由于各边长为2，所以要使△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于23，应该三角形的高大于23，所以这个区域为每个边长从两端各去掉23后剩余的正方形，其面积为23×23＝49，所以满足条件的概率为494＝19.答案：(1)23(2)1910．平面上画了两条平行且相距2a的平行线．把一枚半径ra的硬币任意投掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解：设事件A：“硬币不与任一条平行线相碰”．为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，参看图，这样线段OM长度(记作|OM|)的取值范围是[0，a]，只有当r|OM|≤a时，硬币不与平行线相碰，其长度范围是(r，a]．所以P(A)＝r，a]的长度[0，a]的长度＝a－ra.11．街道旁边有一游戏：在铺满边长为9cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可免费重掷一次；若小圆板全部落在正方形内可再交5角，再掷一次；若小圆板压在塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解：(1)如图(1)所示，因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，小圆板与正方形ABCD的边相交接是在小圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1cm时，所以O落在图(1)中的阴影部分时，小圆板就能与塑料板的边相交接．因此，试验全部结果构成的区域是边长为9cm的正方形，设事件A：“小圆板压在塑料板边上”．S正方形＝9×9＝81(cm2)，S阴影＝9×9－7×7＝32(cm2)．故所求概率P(A)＝3281.(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在小圆板的中心O到正方形ABCD的顶点的距离不超过小圆板的半径1cm时，如图(2)所示的阴影部分．设事件B：“小圆板压在塑料板顶点上”．S正方形＝9×9＝81(cm2)，S阴影＝π×12＝π(cm2)，故所求的概率P(B)＝π81.12．已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取一点M，试求点M5到底面的距离小于h2的概率．解：如图，在SA、SB、SC上取点A1、B1、C1，使A1、B1、C1分别为SA、SB、SC的中点，则当点M位于面ABC和面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于h2.设△ABC的面积为S，由△ABC∽△A1B1C1且相似比为2，得△A1B1C1的面积为S4.由题意，三棱椎S－ABC的体积为13Sh，三棱台A1B1C1－ABC的体积为13Sh－13·S4·h2＝13Sh·78.故P＝78.