高一年级数学竞赛试题

15423本资料来源于《七彩教育网》分一、选择题（每题5分，共30分）1．非空集合S,,5,4,3,2,1且若,Sa则必有Sa6，则所有满足上述条件的集合S共有（）A．6个B．7个C．8个D．9个2．当01x时，()lgxfxx，则下列大小关系正确的是（）A．22()()()fxfxfxB．22()()()fxfxfxC．22()()()fxfxfxD．22()()()fxfxfx3．有三个命题：（1）空间四边形ABCD中，若AC=BC，AD=BD，则AB⊥CD．（2）过平面的一条斜线l存在一个平面与垂直．（3）两个平面斜交，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面都不垂直．其中正确的命题个数（）A．0B．1C．2D．34．如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次．只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点．该蛙从5这点跳起，经2008次．跳后它将停在的点是A．1B．2C．3D．45．若)(,1,0xFaa是R上的奇函数，则)2111)(()(xaxFxG是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．奇偶性与a相关6．对于每一个实数x，设xxxxf242,14)(和是三个函数中的最小值，则)(xf的最大值是（）A．38B．3C．32D．217．若有样本容量为8的样本平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据为4，现在样本容量为9，则样本平均数和方差分别为（）A．81296,935B．81296,944C．917,935D．81152,9448．已知定义域为R上的函数)(,2),2()2()(xfxxfxfxf时当满足单调递增，如果124,xx且12(2)(2)0,xx则12()()fxfx的值（）A．可能为0B．恒大于0C．恒小于0D．可正可负二、填空题（每题5分，共30分）9．已知)(xfy是定义在R上的函数，且对任意的Rx，有1)()(1)2(xfxfxf成立．若)2008(,2)2(ff则．10．已知)(xf是定义在（1,1）上的偶函数，且在1,0上为增函数，若0)4()2(2afaf，则实数a的取值范围．11．在空间直角坐标系中，已知点A的坐标是（1，2，11），点B的坐标是（4，2，3），点C的坐标是（6，1，4），则三角形ABC的面积是．12．若实数ba,满足条件014222baba，则代数式2ab的取值范围是．13．已知函数2212)(xxxf，那么)21()2008()3()2()1(fffff+)20081()31(ff=．14．用S（n）表示自然数n的数字和，例如：S（10）=1+0=1，S（909）=9+0+9=18，若对于任何nN，都有()nSnx，满足这个条件的最大的两位数x的值是．三、解答题(本题共80分)15．（本小题12分）已知向量33(cos,sin),(cos,sin)2222xxxxab，其中[,]22x.（1）求证：()()abab；（2）设函数2()fxabb，求()fx的最大值和最小值16．（本小题12分）已知2()logftt，[2,8]t，对于()ft值域内的所有实数m，不等式2424xmxmx恒成立，求x的取值范围．17．（本小题14分）已知圆22:122,Cxy点(2,1)P，过P点作圆C的切线,,,PAPBAB为切点．（1）求,PAPB所在直线的方程；（2）求切线长PA；（3）求直线AB的方程．18．（本小题14分）右图是一个直三棱柱（以111CBA为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知111111111,90,4ABBCABCAA．112,3BBCC．（1）设点O是AB的中点，证明：//OC平面111CBA；（2）证明：BC⊥AC，并求二面角1BACA的大小；（3）求此几何体的体积．19．（本小题14分）已知一次函数baxxf)(与二次函数2()gxaxbxc，满足abc，且).,,(0Rcbacba（1）求证：函数)()(xgyxfy与的图象有两个不同的交点A,B；（2）设A1,B1是A,B两点在x轴上的射影,求线段A1B1长的取值范围；（3）求证：当3x时,)()(xgxf恒成立.20．（本小题14分）设ncbxaxxxfn,)(2为自然数，已知9)2(,6)1(,0)1(fff，119)6(,4)3(ff，求)(xf．参考答案一、选择题：（每小题5分，共40分）题号12345678答案BCDABADC二、填空题：（每小题5分，共30分）9、310、5,22,311、542212、12[0,]513、401514、97三、解答题：（共80分）15．已知向量33(cos,sin),(cos,sin)2222xxxxab，其中[,]22x.（1）求证：()()abab；（2）设函数2()fxabb，求()fx的最大值和最小值解：（1）22()()22abababab222233cossin(cossin)1102222xxxx所以，()()abab（2）2()fxabb33coscossinsin12222xxxxcos21x当2,xkkzmax2y2,xkkzmin0y16．（本小题12分）已知2()log,[2,8]fttt，对于()ft值域内的所有实数m，不等式2424xmxmx恒成立，求x的取值范围．解：2()log,[2,8]fttt，1[,3]2m……………………2分22424(2)440xmxmxxmxx令2()(2)44gmxmxx，由题意知：当1[,3]2m时，恒有()0gm，………………………5分当2x时，不满足题意．………………………………………7分当2x时，有1()02(3)0gg，解得：1x或2x．(,1)(2,)x．……………………………………12分17．（本小题14分）已知圆22:122,Cxy点(2,1)P，过P点作圆C的切线,,,PAPBAB为切点．（1）求,PAPB所在直线的方程；（2）求切线长PA；（3）求直线AB的方程．解：①设切线的斜率为k，切线方程为)2(1xky，即,012kykx又C（1，2），半经2r由点到直线的距离公式得：22)1(1222kkk，解之得：7k或1k．故所求切线PA、PB的方程分别为：0157,01yxyx．…………4分②连结AC、PC，则AC⊥PA，在三角形APC中,10,2PCAC22210PA．……………………………………8分③解法1：设2211,,,yxByxA，则2)2(1,22122222121yxyx．因AC⊥AP，所以1APCAkk，121121111xyxy．0)1()2(3)2()1(112121xyyx．2)2()1(2121yx，………………………10分上式化简为：03311yx．同理可得：03322yx．………………………12分因为A、B两点的坐标都满足方程033yx．所以直线AB的方程为033yx．……………………14分解法2：因为A、B两点在以CP为直经的圆上．CP的中点坐标为（21,23），又21021CP所以以CP为直经的圆的方程为：03)210()21()23(22222yxyxyx即，又圆C的一般方程为034222yxyx，两式相减得直线AB的直线方程：033yx．………………………………………………14分18．（本小题14分）右图是一个直三棱柱（以111CBA为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知11111111111,90,4,2,3ABBCABCAABBCC．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）证明BC⊥AC，求二面角B—AC—A1的大小；（3）求此几何体的体积．解：（1）证明：作1ODAA∥交11AB于D，连1CD．则11ODBBCC∥∥．因为O是AB的中点，所以1111()32ODAABBCC．则1ODCC是平行四边形，因此有1OCCD∥．1CD平面111CBA且OC平面111CBA，则OC∥面111ABC．……………………………………4分（2）如图，过B作截面22BAC∥面111ABC，分别交1AA，1CC于2A，2C．作22BHAC于H，连CH．因为1CC面22BAC，所以1CCBH，则BH平面1AC．ABCO1A1B1CH2A2CD又因为5AB，2BC，2223ACABBCAC．所以BCAC，根据三垂线定理知CHAC，所以BCH∠就是所求二面角的平面角．因为22BH，所以1sin2BHBCHBC∠，故30BCH∠，即：所求二面角的大小为30．………………………………9分（3）因为22BH，所以222211121(12)233222BAACCAACCVSBH．1112211111212ABCABCABCVSBB△．所求几何体体积为221112232BAACCABCABCVVV．………………14分19．（本小题14分）已知一次函数baxxf)(与二次函数2()gxaxbxc，满足abc，且).,,(0Rcbacba（1）求证：函数)()(xgyxfy与的图象有两个不同的交点A,B；（2）设A1,B1是A,B两点在x轴上的射影,求线段A1B1长的取值范围；（3）求证：当3x时,)()(xgxf恒成立.解：（1）由0)(,)()(22bcxbaaxcbxaxxgbaxxf得和，…2分则2()4,,0(,,).abacabcabcabcR又且0,0,0,ac则……………………………4分函数)()(xgyxfy与的图象有两个不同的交点A,B；---5分（2）由1212()(),abcbxxxxaa，则：4)2(||||22111acxxBA，…………………7分又因为,0(,,).abcabcabcR且122ca则，113||(,23);2AB………………9分（3）设bcxbaaxxfxgxF)()()()(2的两根为21,xx满足21xx，则3212xx，………………………………………10分又()yFx的对称轴为：,02abax于是321xaba，abaxaba23231，由此得：当3x时，,21abaxx……………12分又)2,()(,0abaxFa在知上为单调递减函数，于是，,0)()(1xFxF即当)()(,3xgxfx时恒成立．…………………14分20．（本小题14分）设ncbxaxxxfn,)(2为自然数，已知(1)0,(1)6,ff(2)9f，119)6(,4)3(ff，求)(xf．解：由题设有：11963632)6(4393)3(9242)2(61)1(0)1()1(cbafcbafcbaf