高一数学推理与证明测试题2

高考网本资料来源于《七彩教育网》推理与证明练习三一选择题（5×12=60分）1.如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的（）A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大2．“所有9的倍数（M）都是3的倍数（P），某奇数（S）是9的倍数（M），故某奇数（S）是3的倍数（P）.”上述推理是（）A．小前提错B．结论错C．正确的D．大前提错3．F（n）是一个关于自然数n的命题，若F（k）（k∈N＋）真，则F（k＋1）真，现已知F（7）不真，则有：①F（8）不真；②F（8）真；③F（6）不真；④F（6）真；⑤F（5）不真；⑥F（5）真.其中真命题是（）A．③⑤B．①②C．④⑥D．③④4.下面叙述正确的是（）A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法、分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是肯定的D．综合法、分析法所用语气都是假定的5．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。A．①B．①②C．①②③D．③6．（05·春季上海，15）若a，b，c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对x∈R，有ax2＋bx＋c＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件高考网．（04·全国Ⅳ，理12）设f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）＝12，f（x＋2）＝f（x）＋f（2），f（5）＝（）A．0B．1C．52D．58．设S（n）＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋1n2，则（）A．S（n）共有n项，当n＝2时，S（2）＝12＋13B．S（n）共有n＋1项，当n＝2时，S（2）＝12＋13＋14C．S（n）共有n2－n项，当n＝2时，S（2）＝12＋13＋14D．S（n）共有n2－n＋1项，当n＝2时，S（2）＝12＋13＋149．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x2－y，若关于x的不等式（x－a）⊙（x＋1－a）＞0的解集是集合｛x｜－2≤x≤2，x∈R｝的子集，则实数a的取值范围是（）A．－2≤a≤2B．－1≤a≤1C．－2≤a≤1D．1≤a≤210．已知f（x）为偶函数，且f（2＋x）＝f（2－x），当－2≤x≤0时，f（x）＝2x，若n∈N*，an＝f（n），则a2006＝（）A．2006B．4C．14D．－411．函数f（x）在［－1，1］上满足f（－x）＝－f（x）是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（）A．f（sinα）＞f（sinβ）B．f（cosα）＞f（sinβ）C．f（cosα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＜f（sinβ）12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。四位歌手的话只有两名是对的，则奖的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二填空题（4×4=16分）13．“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：12,-12,38,-14,532,它的第8个数可以是。14．在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC边上的射影，则高考网=BD.BC.拓展到空间,在四面体A—BCD中，DA⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在面BCD内，类比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面积之间关系为。15．（05·天津）在数列｛an｝中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋（－1）n，n∈N*，S10＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.16．（05黄冈市一模题）当a0，a1，a2成等差数时，有a0－2a1＋a2＝0，当a0，a1，a2，a3成等差数列时，有a0－3a1＋3a2－a3＝0，当a0，a1，a2，a3，a4成等差数列时，有a0－4a1＋6a2－4a3＋a4＝0，由此归纳：当a0，a1，a2，…，an成等差数列时有C0na0－C1na1＋C2na2－…＋Cnnan＝0.如果a0，a1，a2，…，an成等差数列，类比上述方法归纳出的等式为＿＿＿。三解答题（74分）17已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，求证：1a+b+1b+c=3a+b+c（12分）18．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2x＋π2，b＝y2－2y＋π3，c＝z2－2z＋π6，求证：a、b、c中至少有一个大于0.（12分）19．数列｛an｝的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2nSn（n＝1，2，3，…）.证明：⑴数列｛Snn｝是等比数列；⑵Sn＋1＝4an.（12分）20．用分析法证明：若a＞0，则a2＋1a2－2≥a＋1a－2.(12分)21．设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下B发生概率为P′，则由A产生B的概率为P·P′.根据这一事实解答下题.一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0、1、2、…、100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即P0＝1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站.直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束.已知硬币出现正、反面的概率相同，设棋子跳到第到第n站时的概率为Pn.（1）求P1，P2，P3；（2）设an=Pn－Pn－1（1≤n≤100），求证：数列｛an｝是等比数列(12分)22．(14分)在ΔABC中（如图1），若CE是∠ACB的平分线，则ACBC＝AEBE.其证明过程：作EG⊥AC于点G，EH⊥BC于点H，CF⊥AB于点F∵CE是∠ACB的平分线，∴EG＝EH.高考网又∵ACBC＝AC·EGBC·EH＝SΔAECSΔBEC，AEBE＝AE·CFBE·CF＝SΔAECSΔBEC，∴ACBC＝AEBE.（Ⅰ）把上面结论推广到空间中：在四面体A－BCD中（如图2），平面CDE是二面角A－CD－B的角平分面，类比三角形中的结论，你得到的相应空间的结论是＿＿＿＿＿＿（Ⅱ）证明你所得到的结论.答案：一1A2C3A4A5C6A7C8D９Ｃ１０Ｃ１１Ｂ１２C11分析：因为锐角三角形，所以α+β＞π2，所以0＜π2-α＜β＜π2，sin（π2-α）＜sinβ，0＜cosα＜sinβ＜1，函数f（x）在［－1，1］上满足是减函数所以f（cosα）＞f（sinβ）。12分析：先猜测甲、乙对，则丙丁错，甲、乙可看出乙获奖则丁不错，所以丙丁中必有一个是对的，设丙对，则甲对，乙错，丁错.∴答案为C.AGFEBHC图1ACEBD图2Fh2h11高考网（S△ABC）2=S△BOC.S△BDC15.3516a0C0n·a1－C1n·a2C2n·…·an（－1）nCnn＝1.［解析］解此题的关键是对类比的理解.通过对所给等差数列性质的理解，类比去探求等比数列相应的性质.实际上，等差数列与等比数列类比的裨是运算级别的类比，即等差数列中的“加、减、乘、除”与等比数列中的“乘、除、乘方、开方”相对应.三解答题17(分析法)要证1a+b+1b+c=3a+b+c需证:a+b+ca+b+a+b+cb+c=3即证:c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)即证:c2+a2=ac+b2因为△ABC中，角A、B、C成等差数列,所以B=600,由余弦定理b2=c2+a2-2cacosB即b2=c2+a2-ca所以c2+a2=ac+b2因此1a+b+1b+c=3a+b+c18(反证法).证明：设a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝（x2－2y＋π2）＋（y2－2z＋π3）＋（z2－2x＋π6）＝（x2－2x）＋（y2－2y）＋（z2－2z）＋π＝（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2＋π－3，∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.19(综合法)．证明：⑴由an＋1＝n＋2nSn，而an＋1＝Sn＋1－Sn得∴n＋1nSn＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1＝2（n＋1）nSn，∴Sn＋1n＋1Snn＝2，∴数列｛Snn｝为等比数列.⑵由⑴知｛Snn｝公比为2，∴Sn＋1n＋1＝4Sn－1n－1＝4n－1·an（n－1）n＋1，∴Sn＋1＝4an.20(分析法).证明：要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只需证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2.∵a＞0，∴两边均大于零，因此只需证（a2＋1a2＋2）2≥（a＋1a＋2）2，只需证a2＋1a2＋4＋4a2＋1a2≥a2＋1a2＋2＋22（a＋1a），只需证a2＋1a2≥22（a＋1a），只需证a2＋1a2≥12（a2＋1a2＋2），高考网＋1a2≥2，它显然是成立，∴原不等式成立.21.（1）解:P0＝1，∴P1＝12,P2＝12×12＋12＝34，P3＝12×12＋34×12＝58.（2）证明:棋子跳到第n站，必是从第n－1站或第n－2站跳来的（2≤n≤100），所以Pn=12Pn－1＋12Pn－2∴Pn－Pn－1＝－Pn－1＋12Pn－1＋12Pn－2=－12（Pn－1－Pn－2），∴an=－12an－1（2≤n≤100），且an＝P1－P0＝－12.故｛an｝是公比为－12，首项为－12的等比数列（1≤n≤100）.22．结论:SΔACDSΔBCD＝AEBE或SΔACDSΔBCD＝SΔAECSΔBEC或SΔACDSΔBCD＝SΔAEDSΔBED证明：设点E是平面ACD、平面BCD的距离分别为h1，h2，则由平面CDE平分二面角A－CD－B知h1＝h2.又∵SΔACDSΔBCD＝h1SΔACDh2SΔBCD＝VA－CDEVB－CDEAEBE＝SΔAEDSΔBED＝VC－AEDVC－BED＝VA－CDEVB－CDE∴SΔACDSΔBCD＝AEBEAGFEBHC图1ACEBD图2Fh2h11