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高一数学提高测试(二)(90分钟,满分100分)(一)选择题(每小题5分,共30分)1.数列{an}中,a1=13,a2=56,an+2=an+1-an,则a1999等于().(A)-56(B)-43(C)13(D)-13【提示】求出数列前若干项,分析其中的规律,其数值是周期性变化.【答案】(C).2.若数列{an}前8项的值各异,且an+8=an对任意的nN都成立,则下列数列中可取遍{an}前8项值的数列为().(A){a2k+1}(B){a3k+1}(C){a4k+1}(D){a5k+1}【提示】由已知,只需研究2k+1、3k+1、4k+1、5k+1被8除的余数是1到8的数.故3k+1型的数符合此条件.【答案】(B).3.已知数列1,21,21,31,31,31,41,41,41,41,…,则此数列前100项的和等于().(A)13149(B)131411(C)14141(D)14143【提示】将数列分成n组:第一组:1,第二组:21,21,第三组31,31,31,…,由于第n组中有n个数,且求前100项和,故令1+2+3+…+n=100.即2)1(nn=100,估值可知n=13.即前13组中共有91个数,再加上第14组中前9个数,恰为100项,【答案】(A).4.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为().(A)130(B)170(C)210(D)260【提示】设前m项和V1,m+1到2m项和V2,2m+1到3m项和V3,则V1,V2,V3也成等差数列.于是V1=30,V2=70,d=40.∴V3=110.【答案】(C).5.设{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1·a2·a3·…a30=230,那么a3·a6·a9·…·a30等于().(A)210(B)215(C)216(D)220【提示】设a1·a4·a7·…·a28=x,则a2·a5·a8·…a29=x·210,a3·a6·a9·…·a30=x·220.于是230=x·(x·210)·(x·220)=x3·230,∴x=1.【答案】(D).6.某露天剧场有28排座位,每相邻两排座位数相同,第一排有24个座位,以后每隔一排增加两个座位,则全剧场共有座位().(A)1036个(B)1428个(C)854个(D)518个【提示】由题意知第一、二排,第三、四排,…,第二十七,二十八排的座位数组成等差数列{an},其中a1=24×2,d=2×2,n=14,则S14可求.【答案】(A).(二)填空题(每小题5分,共25分)7.已知a>b>0,A是a、b的等差中项.G是a、b的等比中项,且G>0,若A=2G.则a︰b=________________.【提示】a+b=4ab,即ba+ab=4令ba=x,则x+x1=4即x2-4x+1=0,解得x=2±3而x=ba>1,∴x=2+3.【答案】7+43.8.两个等差数列,它们的前n项和之比为1235nn,则这两个数列的第九项的比是_________.【提示】设两数列为{an}、{bn},相应的前n项和为Sn、Tn则nnTS=1235nn,99ba=99217217ba=)(17)(17171171bbaa=1717TS=11723175=3388=38.【答案】8︰3.9.在数列{an}中,a1=1,Sn=n2an,则an=______________.【提示】当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1∴1nnaa=11nn,从而12aa=31,23aa=42,34aa=53,…,21nnaa=nn2,1nnaa=11nn,将以上n-1个等式相乘,得1aan=)1(2nn.【答案】an=)1(2nn.10.已知数列1,(1+21),(1+21+41),(1+21+41+81),…,(1+21+41+…+121n).则此数列的前n项和Sn=______________.【提示】∵an=1+21+41+…+121n=2-121n∴Sn=2n-(1+21+41+…+121n).【答案】Sn=2n-2+121n.11.设n个数成等比数列,P是这n个数的乘积,S是这n个数的和,S′是这n个数的倒数和,那么P等于______________.【提示】P=a1n·2)1(nnq,S=1)1(1qqan.S′=11a·qqn1111=11a·)1()1(1qqqnn.∴SS=a12qn-1,2)(nSS=2121)(nnqa=a1n·2)1(nnq=P.【答案】P=2)(nSS.(三)解答题(第12小题12分,第13至15题每小题11分,共45分)12.已知数列{an}中,Sn是它的前n项和,且Sn+1=4an+2,(nN),a1=1.(1)设bn=an+1-2an,(nN),求证:数列{bn}是等比数列;(2)设cn=2na,(nN),求证:数列{cn}是等差数列.【提示】(1)由题意,得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an,即an+2=4an+1-4an,变形得an+2-2an+1=2(an+1-2an),即bn+1=2bn,再由已知,bn=3·2n-1(2)由cn=nna2,得cn+1-cn=12nnb,又bn=3·2n-1,故cn+1-cn=43.13.已知二次函数f(x)=x2-2(10-3n)x+9n2-61n+100(nN)(1)设函数y=f(x)图象的顶点的横坐标组成数列{an},求数列{an}的通项公式an.(2)设函数y=f(x)图象的顶点到y轴的距离构成数列{bn},求数列{bn}的前n项和.【提示】(1)an=10-3n.(2)bn=|an|=|10-3n|=)4(103)3(310nnnn当n≤3时,Sn=2)]310(7[nn=21732nn;当n≥4时,Sn=S3+b4+…+bn=25127+2)]103(2)[3(nn=2481732nn.14.已知等差数列{an}的首项为a1=21,公差d=-4.(1)若|a1|+|a2|+…+|aK|=102,求k的值;(2)设{an}的前n项和为Sn,试问数列{Sn}是否存在相同的两项,若存在,求出这样的两项,若不存在,说明理由.【提示】(1)易知an=25-4n,令an≥0,则n≤6,即前6项为正数,从第7项开始为负数.∴|a1|+|a2|+…+|ak|=(a1+a2+…+a6)-(a7+a8+…+ak)=2k2-23k+132=102.解得k=10或23(舍去)(2)假设存在m,n(m,nN),使Sm=Sn(m≠n).则可以推出2m+2n=23,对于m,nN,此式不可被成立,故{Sn}不存在相同的两项.【答案】(1)k=10;(2)不存在相同的两项.15.已知数列{an}的通项公式,an=(n+1)n)109(,问n取何值时,an取最大值.【提示】方法一:不妨设an最大,则11nnnnaaaa,由此解得n=8或9.方法二:先分析{an}的单调性,an+1-an=n)109(·108n,再对n分三类讨论,即n<8时;n=8时,an增函数,n>8时,an是减函数,进而得出结论.
本文标题:高一数学提高测试二
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