高一数学提高测试二

高一数学提高测试（二）（90分钟，满分100分）（一）选择题（每小题5分，共30分）1．数列｛an｝中，a1＝13，a2＝56，an＋2＝an＋1－an，则a1999等于（）．（A）－56（B）－43（C）13（D）－13【提示】求出数列前若干项，分析其中的规律，其数值是周期性变化．【答案】（C）．2．若数列｛an｝前8项的值各异，且an＋8＝an对任意的nN都成立，则下列数列中可取遍｛an｝前8项值的数列为（）．（A）｛a2k＋1｝（B）｛a3k＋1｝（C）｛a4k＋1｝（D）｛a5k＋1｝【提示】由已知，只需研究2k＋1、3k＋1、4k＋1、5k＋1被8除的余数是1到8的数．故3k＋1型的数符合此条件．【答案】（B）．3．已知数列1，21，21，31，31，31，41，41，41，41，…，则此数列前100项的和等于（）．（A）13149（B）131411（C）14141（D）14143【提示】将数列分成n组：第一组：1，第二组：21，21，第三组31，31，31，…，由于第n组中有n个数，且求前100项和，故令1＋2＋3＋…＋n＝100．即2)1(nn＝100，估值可知n＝13．即前13组中共有91个数，再加上第14组中前9个数，恰为100项，【答案】（A）．4．等差数列｛an｝的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）．（A）130（B）170（C）210（D）260【提示】设前m项和V1，m＋1到2m项和V2，2m＋1到3m项和V3，则V1，V2，V3也成等差数列．于是V1＝30，V2＝70，d＝40．∴V3＝110．【答案】（C）．5．设｛an｝是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于（）．（A）210（B）215（C）216（D）220【提示】设a1·a4·a7·…·a28＝x，则a2·a5·a8·…a29＝x·210，a3·a6·a9·…·a30＝x·220．于是230＝x·（x·210）·（x·220）＝x3·230，∴x＝1．【答案】（D）．6．某露天剧场有28排座位，每相邻两排座位数相同，第一排有24个座位，以后每隔一排增加两个座位，则全剧场共有座位（）．（A）1036个（B）1428个（C）854个（D）518个【提示】由题意知第一、二排，第三、四排，…，第二十七，二十八排的座位数组成等差数列｛an｝，其中a1＝24×2，d＝2×2，n＝14，则S14可求．【答案】（A）．（二）填空题（每小题5分，共25分）7．已知a＞b＞0，A是a、b的等差中项．G是a、b的等比中项，且G＞0，若A＝2G．则a︰b＝________________．【提示】a＋b＝4ab，即ba＋ab＝4令ba＝x，则x＋x1＝4即x2－4x＋1＝0，解得x＝2±3而x＝ba＞1，∴x＝2＋3．【答案】7＋43．8．两个等差数列，它们的前n项和之比为1235nn，则这两个数列的第九项的比是_________．【提示】设两数列为｛an｝、｛bn｝，相应的前n项和为Sn、Tn则nnTS＝1235nn，99ba＝99217217ba＝)(17)(17171171bbaa＝1717TS＝11723175＝3388＝38．【答案】8︰3．9．在数列｛an｝中，a1＝1，Sn＝n2an，则an＝______________．【提示】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2an－（n－1）2an－1∴1nnaa＝11nn，从而12aa＝31，23aa＝42，34aa＝53，…，21nnaa＝nn2，1nnaa＝11nn，将以上n－1个等式相乘，得1aan＝)1(2nn．【答案】an＝)1(2nn．10．已知数列1，（1＋21），（1＋21＋41），（1＋21＋41＋81），…，（1＋21＋41＋…＋121n）．则此数列的前n项和Sn＝______________．【提示】∵an＝1＋21＋41＋…＋121n＝2－121n∴Sn＝2n－（1＋21＋41＋…＋121n）．【答案】Sn＝2n－2＋121n．11．设n个数成等比数列，P是这n个数的乘积，S是这n个数的和，S′是这n个数的倒数和，那么P等于______________．【提示】P＝a1n·2)1(nnq，S＝1)1(1qqan．S′＝11a·qqn1111＝11a·)1()1(1qqqnn．∴SS＝a12qn－1，2)(nSS＝2121)(nnqa＝a1n·2)1(nnq＝P．【答案】P＝2)(nSS．（三）解答题（第12小题12分，第13至15题每小题11分，共45分）12．已知数列｛an｝中，Sn是它的前n项和，且Sn＋1＝4an＋2，（nN），a1＝1．（1）设bn＝an＋1－2an，（nN），求证：数列｛bn｝是等比数列；（2）设cn＝2na，（nN），求证：数列｛cn｝是等差数列．【提示】（1）由题意，得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，即an＋2＝4an＋1－4an，变形得an＋2－2an＋1＝2（an＋1－2an），即bn＋1＝2bn，再由已知，bn＝3·2n－1（2）由cn＝nna2，得cn＋1－cn＝12nnb，又bn＝3·2n－1，故cn＋1－cn＝43．13．已知二次函数f（x）＝x2－2（10－3n）x＋9n2－61n＋100（nN）（1）设函数y＝f（x）图象的顶点的横坐标组成数列｛an｝，求数列｛an｝的通项公式an．（2）设函数y＝f（x）图象的顶点到y轴的距离构成数列｛bn｝，求数列｛bn｝的前n项和．【提示】（1）an＝10－3n．（2）bn＝|an|＝|10－3n|＝)4(103)3(310nnnn当n≤3时，Sn＝2)]310(7[nn＝21732nn；当n≥4时，Sn＝S3＋b4＋…＋bn＝25127＋2)]103(2)[3(nn＝2481732nn．14．已知等差数列｛an｝的首项为a1＝21，公差d＝－4．（1）若|a1|＋|a2|＋…＋|aK|＝102，求k的值；（2）设｛an｝的前n项和为Sn，试问数列｛Sn｝是否存在相同的两项，若存在，求出这样的两项，若不存在，说明理由．【提示】（1）易知an＝25－4n，令an≥0，则n≤6，即前6项为正数，从第7项开始为负数．∴|a1|＋|a2|＋…＋|ak|＝（a1＋a2＋…＋a6）－（a7＋a8＋…＋ak）＝2k2－23k＋132＝102．解得k＝10或23（舍去）（2）假设存在m，n（m，nN），使Sm＝Sn（m≠n）．则可以推出2m＋2n＝23，对于m，nN，此式不可被成立，故｛Sn｝不存在相同的两项．【答案】（1）k＝10；（2）不存在相同的两项．15．已知数列｛an｝的通项公式，an＝（n＋1）n)109(，问n取何值时，an取最大值．【提示】方法一：不妨设an最大，则11nnnnaaaa，由此解得n＝8或9．方法二：先分析｛an｝的单调性，an＋1－an＝n)109(·108n，再对n分三类讨论，即n＜8时；n＝8时，an增函数，n＞8时，an是减函数，进而得出结论．