高一数学数系的扩充与复数的引入测试题1

高考网本资料来源于《七彩教育网》复数同步练习一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。1．方程2z+|z|=2+6i的解的情况是（）A．没有解B．只有一解C．有两解D．多于两解2．已知z=x＋yi(x，y∈R)，且222log8(1log)xyixyi，则z=（）A．2＋iB．1＋2iC．2＋i或1＋2iD．无解3．下列命题中正确的是（）A．任意两复数均不能比较大小；B．复数z是实数的充要条件是z=z；C．复数z是纯虚数的充要条件是z+z=0;D．i+1的共轭复数是i－1；4．设)()11()11()(Nniiiinfnn，则集合)(nfxx中元素的个数是（）A．1B．2C．3D．无穷多个5．使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m（）A．1B．0C．3D．复数无法比较大小6．设复数,zxyixyR，则满足等式20zx的复数z对应的点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线7．若非零复数,xy满足220xxyy,则20052005()()xyxyxy的值是（）A．1B．1C．20042D．200428．如图所示，复平面内有RtΔABC，其中∠BAC=90°，点A、B、C分别对应复数32zzz、、，且z=2，则z=（）A．i3B．i3C．i31D．i319．复数z1＝a＋2ｉ，z2＝－2＋ｉ，如果|z1||z2|，则实数a的取值范围是（）OxBCyAz2z3z高考网．－1a1B．a1C．a0D．a－1或a110．如果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为（）A．1B．2C．2D．511.（2007湖南理）复数22i1+i等于（）A．4iB．4iC．2iD．2i12.(2007福建理)复数21(1i)等于（）A．12B．12C．1i2D．1i2二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题4分，共20分）。13．已知关于x的实系数方程x2－2ax+a2－4a+4=0的两虚根为x1、x2，且|x1|+|x2|=3，则a的值为。14．已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x,y∈R，求x=，y=。15．i＋i2＋i3+……+i2005=。16．已知x、y、t∈R，01tt且，求满足x＋yi=1()1ttitt时，点(x,y)的轨迹方程。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)。17．（10分）设|z1|＝5，|z2|＝2,|z1－z2|＝13，求zz12的值。高考网．（12分）当m为何实数时，复数z＝2223225mmm+(m2+3m－10)i；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．19．（12分）求同时满足下列条件的所有复数z：(1)zz10是实数，且6101zz。(2)z的实部和虚部都是整数。高考网．（12分）设复数|z－i|=1,且z0,z2i.又复数w使ziziww22为实数，问复数w在复平面上所对应的点Z的集合是什么图形，并说明理由。21．（14分）设虚数z1,z2，满足221zz.(1)若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两根，求z1,z2。(2)若z1=1+mi(i为虚数单位，m∈R),2||1z,复数w=z2+3,求|w|的取值范围。高考网．（14分）设复数|z－i|=1,且z0,z2i.又复数w使ziziww22为实数，问复数w在复平面上所对应的点Z的集合是什么图形，并说明理由。高考网参考答案一、1．B；2．C；解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．∵222log8(1log)xyixyi，∴22280log1logxyxy，∴32xyxy，解得21xy或12xy,∴z＝2＋i或z＝1＋2i．诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）3．B；4．C；解析：∵nniinf)()(∴0)3(,2)2(,0)1(fff，,2)4(f，∴集合)(nfxx中的元素为-2,0,2，选C．；5．C；解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．∵m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10,且虚数不能比较大小，∴2221030430mmmmm，解得||100或33或1mmmmm，∴m=3.当m＝3时，原不等式成立．诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。6．D；7．A；8．C；9．A；利用复数模的定义得a2225，选A；10．A；由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A；11.答案：C12.答案：D二、高考网．21；14．x=25,y=4；15．i；解：此题主要考查in的周期性．i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+i2003＋i2004)＋i2005=(i－1－i+1)+(i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i＝0＋0＋……＋0+i＝i.或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）诠释：本题应抓住in的周期及合理分组．16．xy=1；解：此题主要考查复数相等的充要条件，轨迹方程的求法．∵x＋yi=1()1ttitt，∴11txttyt，∴xy=1,∴点(x，y)的轨迹方程为xy＝1，它是以x轴、y轴为对称轴，中心在(0，0)的等轴双曲线．三、17．【分析】利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。【解】如图，设z1＝OA、z2＝OB后，则z1＝OC、z2＝OD如图所示。由图可知，|zz12|＝52，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：cos∠AOD＝5213252222()××＝45∴zz12＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ【另解】设z1＝OA、z2＝OD如图所示。则|zz12|＝52，且cos∠AOD＝5213252222()××＝45，sin∠AOD＝±35，所以zz12＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ，即zz12＝2±32ｉ。【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，yADOBxCyADOx高考网．解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．（1）z为实数，则虚部m2+3m－10=0，即223100250mmm，解得m=2，∴m=2时，z为实数。（2）z为虚数，则虚部m2+3m－10≠0，即223100250mmm，解得52.52mmmm且当且时，z为虚数．22223203100250mmmmm，解得m=－21,∴当m=－21时，z为纯虚数．诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．19．分析与解答：设z=a+bi(a,b∈R,且a2+b2≠0).则22)(101010babiabiabiabiazzibabbaa)101()101(2222由(1)知zz10是实数，且6101zz,∴0)101(22bab即b=0或a2+b2=10.又6)101(122baa*当b=0时，*化为6101aa无解。当a2+b2=10时，*化为12a≤6,∴321a.由(2)知a=1,2,3.∴相应的b=±3,±6(舍)，±1，因此，复数z为：1±3i或3±i.此题不仅考查了复数的概念、运算等，同时也考查到了方程、不等式的解法。20．分析与解答：设z=a+bi,w=x+yi(a,b,x,y∈R).由题z≠0,z≠2i且|z－i|=1,∴a≠0,b≠0且a2+b2－2b=0.高考网)2(2)2(2)2()2(2)2(2222baaiyxxiyyxbaaibbayxxiyyxbiaibiaiyixyixziziwwu记已知u为实数，∴02)2(2222222baayxyyx，∵a≠0,∴x2+y2－2y=0即x2+(y－1)2=1.∴w在复平面上所对应的点Z的集合是以(0,1)为圆心，1为半径的圆。又∵w－2i≠0,∴除去(0,2)点。此题中的量比较多，由于是求w对应点的集合，所以不妨设w为x+yi(x,y∈R),z=a+bi(a,b∈R).关于z和w还有一些限制条件，这些都对解题起着很重要的作用，千万不可大意。21．分析与解答：(1)∵z1,z2是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭，可设z1=a+bi(a,b∈R且b≠0),则z2=a－bi,由221zz得(a+bi)2=a－bi即：a2－b2+2abi=a－bi根据复数相等，bababa222∵b≠0解得：2321ba或2321ba，∴iziz2321232121或iziz2321232121。(2)由于221zz，z1=1+mi,w=z2+3,∴w=(1+mi)2+3=4－m2+2mi.∴12)2(4)4(||22222mmmw,由于2|z|1且m≠0,可解得0m2≤1,令m2=u,12)2(||2uw,高考网∈(0,1)上，(u－2)2+12是减函数，∴)4,13[||w.复数这一章中去掉了三角形式,降低了难度，但在复数的基本概念、运算、复数与方程、复数与几何这些部分仍然有许多可考查的内容，并且还可以与其它的数学知识相结合。22．分析与解答：设z=a+bi,w=x+yi(a,b,x,y∈R).由题z≠0,z≠2i且|z－i|=1,∴a≠0,b≠0且a2+b2－2b=0.222222222222222)2(2)2(2)2()2(2)2(2222baaiyxxiyyxbaaibbayxxiyyxbiaibiaiyixyixziziwwu记已知u为实数，∴02)2(2222222baayxyyx，∵a≠0,∴x2+y2－2y=0即x2+(y－1)2=1.∴w在复平面上所对应的点Z的集合是以(0,1)为圆心，1为半径的圆。又∵w－2i≠0,∴除去(0,2)点。此题中的量比较多，由于是求w对应点的集合，所以不妨设w为x+yi(x,y∈R),z=a+bi(a,b∈R).关于z和w还有一些限制条件，这些都对解题起着很重要的作用，千万不可大意。