高三数学平面向量专练

平面向量板块测试第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(12×5′＝60′)1.下列五个命题：①|a2|=2a;②ababa2;③222)(baba;④2222)(bbaaba;⑤若a·b=0,则a=0或b=0.其中正确命题的序号是()A.①②③B.①④C.①③④D.②⑤2.若AB=3e,CD=-5e且|AD|=|BC，则四边形ABCD是()A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形3.将函数y=sinx按向量a＝(1,-1)平移后，所得函数的解析式是()A.y′=sin(x′-1)-1B.y′=sin(x′+1)-1C.y′=sin(x′+1)+1D.y′=sin(x′-1)+14.若有点1M(4，3)和2M(2，-1)，点M分有向线段21MM的比λ＝-2，则点M的坐标为()A.(0，-35)B.(6，7)C.(-2，-37)D.(0，-5)5.若|a+b|=|a-b|，则向量a与b的关系是()A.a=0或b=0B.|a|=|b|C.ab=0D.以上都不对6.若|a|=1，|b|=2，|a+b|=7，则a与b的夹角θ的余弦值为()A.-21B.21C.31D.以上都不对7.已知a=31e-42e,b=(1-n)1e+3n2e,若a∥b则n的值为()A.-54B.54C.4D.28.平面上三个非零向量a、b、c两两夹角相等，|a|=1，|b|=3,|c|=7,则|a+b+c|等于()A.11B.27C.4D.11或279.等边△ABC中,边长为2,则AB·BC的值为()A.4B.-4C.2D.-210.已知△ABC中，)(2222444baccba，则∠C等于()A.30°B.60°C.45°或135°D.120°11.将函数y=f(x)cosx的图象按向量a=(4,1)平移，得到函数xy2sin2的图象，那么函数f(x)可以是（）A.cosxB.2cosxC.sinxD.2sinx12.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C满足OC=αOA+βOB，其中α、β∈R，且α+β=1,则点C的轨迹方程为()A.3x+2y-11=0B.5)2()1(22yxC.2x-y=0D.x+2y-5=0第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(4×4′＝16′)13.已知|a|=3,|b|=5,a·b=12,则a在b上的投影为.14.设a=(-4,3),b=(5,2),则2|a2|-21ab＝.15.已知a=(6,2),b=(-4,21),直线l过点A(3,-1),且与向量a+2b垂直，则直线l的一般式方程是.16.把函数5422xxy的图象按向量a平移后，得到22xy的图象，且a⊥b,c=(1,-1),b·c=4,则b=.三、解答题(5×12′+14′＝74′)17.若向量a的始点为A(-2，4)，终点为B(2，1).求：(1)向量a的模.(2)与a平行的单位向量的坐标.(3)与a垂直的单位向量的坐标.18.设两向量1e、2e满足|1e|=2，|2e|=1,1e、2e的夹角为60°，若向量2t1e+72e与向量1e+t2e的夹角为钝角，求实数t的取值范围.19.已知向量a=(x23cos,x23sin),b=(2cosx,2sinx),且x∈［-3,4］.（1）求a·b及|a+b|;（2）若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.20.设a=(-1-x)i,b=(1-x)i+yj(x、y∈R,i、j分别是x、y轴正方向上的单位向量)，且|a|=|b|.(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程；(2)过点(4,0)作直线l交曲线C于A、B两点，设OP=OA+OB，求证：四边形OAPB为矩形.21.已知△ABC的顶点为A(0，0)，B(4，8)，C(6，-4).M点在线段AB上，且AM=3MB，P点在线段AC上，△APM的面积是△ABC的面积的一半，求点M、P的坐标.22.如图所示，有两条相交成60°角的直路XX′和YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲离O点3km，乙离O点1km，后来两人同时用4km/h的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y的方向步行.(1)起初，两人的距离是多少?(2)用包含t的式子表示th后两人的距离.(3)什么时候两人的距离最短?参考答案1.B由向量的数量积的定义即知.2.C∵AB∥CD,且AD=BC,AB≠CD,故选C.3.A点(x,y)按向量a＝（1，-1）平移后的点(x′,y′)，∴11yyxx即11yyxx∴y′+1＝sin(x′-1),即y′=sin(x′-1)-1.第22题图4.D设点M(x,y)，∴521)1(23021224yx∴点M的坐标为(0,-5).5.C设a=(1x,1y)，b=(2x,2y)，由|a+b|=|a-b|，得221221221221)()()()(yyxxyyxx，即1x2x＋1y2y＝0.又a·b=1x2x＋1y2y，∴ab＝0.6.B|a+b|2|=cos||||2||||22baba,∴7=1+4-4cosα即cosα=-21，∴a与b的夹角θ的余弦值为21.7.A∵a=(3,-4),b=(1-n,3n),∴9n=-4(1-n),∴n=-54,故选A.8.D若两两夹角为0°,则|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=11;若两两夹角为120°,则|a+b+c2|=|a2|+|b2|+|c2|+2|a||b|cos120°+2|b||c|cos120°+2|a||c|cos120°=1+9+49+2×(-21)×(1×3+3×7+1×7)=28,|a+b+c|=27.9.DAB·BC=22·cos120°=-2.故选D.10.C由)(2222444baccba，得2222222)(bacba，∴222cba=±2ab=2abccosC，∴cosC=±22,∴C=45°或135°.11.D由平移公式，应有xxfxcos)(1)4(sin22.即xxfxxcos)(2sin)22cos(,∴f(x)=2sinx.12.D设C(x,y),∵OC=αOA+βOB,∴(x,y)=α(3,1)+β(-1,3)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β).∴33yx又∵α+β=1,∴x+2y-5=0.13.512∵a·b=|a|·|b|·cosθ,∴a在b上的投影为512.14.572|a2|-21·a·b=2(16＋9)-21(-20+6)=50+7=57.15.2x-3y-9=0设l的一个方向向量为(m,n).a+2b=(-2,3),直线l与向量a+2b垂直，即-2m+3n=0,直线l的斜率k=32mn,直线l的方程为y+1=32(x-3),即2x-3y-9=0.16.(3,-1)22)1(23542xyxxy,∴a=(-1,-3),设b=(0x,0y),则13403000000yxyxyx.17.解(1)a＝AB＝（2，1）-（-2，4）=（4，－3），∴|a|＝5)3(422.(2)与a平行的单位向量是±||aa＝±51(4，-3)=(54，-53)或(-54，53).(3)设与a垂直的单位向量是e=(m,n)，则a·e＝4m-3n＝0,∴43nm.又∵|e|＝1，∴122nm.解得m=53,n=54或m=-53,n=-54.∴e＝(53，54)或(-53，-54).18.解21e=4,22e=1,21ee=2×1×cos60°=1,∴(2t1e+72e)·(1e+t2e)=2t21e+(22t+7)1e·2e+7t22e=22t+15t+7.∴22t+15t+70,∴-7t-21.设2t1e+72e=λ(1e+t2e)(λ0)tt7222t=7t=-214,∴λ=-14.∴当t=-214时，2t1e+72e与1e+2e的夹角为π,∴t的取值范围是(-7,-214)∪(-214,-21).19.解(1)a·b=cos23xcos2x-sin23xsin2x=cos2x.|a|=|b|=1,设a与b的夹角为θ，则cosθ=xxbaba2cos112cos||||.∴|a+b2|=2a+2a·b+2b=1+2×1×1·cos2x+1=2+2cos2x=4x2coscos2x,又x∈［-3,4］,cosx0,∴||ba=2cosx.(2)f(x)=cos2x-2cosx=223)21(cos21cos2cos22xxx.∵x∈［-3,4］,∴21≤cosx≤1.∴当cosx=21时，f(x)取得最小值-23;当cosx=1时，f(x)取最大值-1.20.(1)解由已知|a|=|b|，即222)1()1(yxx,整理得xy42①(2)证明由已知只需证OA⊥OB即可，即证OA·OB=0.设A(1x,1y),B(2x,2y),当l⊥x轴时，A(4,4),B(4,-4),∴1x2x+1y2y=0,即OA⊥OB.当l不与x轴垂直时，设l的斜率为k，l的方程为y=k(x-4)(k≠0)，②将②代入①得016)48(2222kkxxk.∴22148kxx,1x2x=16.1y2y=16]16)48(416[)4)(4(22212kkxxk.∴1x2x+1y2y=0,∴OA⊥OB.故得证.21.解如图，M分AB的比λ＝3，则M的坐标为631830331430MMyx由21ABCAMPSS，得21sin21sin21AACABAAPAM.又∵43ABAM，∴32ACAP.∴12PCAP，即P分AC所成的比λ＝2.3821)4(20421620PPyx则M(3，6)，P(4，-38)为所求.第21题图解22.解(1)设甲、乙两人起初的位置是A、B，则由余弦定理60cos2222OBOAOBOAAB＝2213－2×3×1×21＝7.所以甲、乙两人的距离是AB＝7km.(2)设甲、乙两人th后的位置分别是P、Q，则AP＝4t,BQ＝4t.当0≤t≤43时，由余弦定理得60cos)41()43(2)41()43(222ttttPQ，当t43时，120cos)41()34(2)41()34(222ttttPQ.注意到上面两式实际上是统一的，所以,72448)3816()1816()92416(22222tttttttPQ即PQ＝724482tt.(3)∵4)41(482tPO，∴当t=41时，PQ的最小值是2.即在第15min末PQ最短.