高中人教A版数学必修4习题课四Word版含解析

习题课(四)一、选择题1．若α∈(0，π)，且cosα＋sinα＝－13，则cos2α＝()A.179B．－1710C．－179D.1710答案：A解析：因为cosα＋sinα＝－13，α∈(0，π)，所以sin2α＝－89，cosα0，且α∈3π4，π，所以2α∈3π2，2π，所以cos2α＝1－sin22α＝179.故选A.2．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝35，β是第三象限角，则sin(2β＋7π)＝()A.2425B．－2425C．－1225D.1225答案：B解析：∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sinβ＝35，∴sinβ＝－35.又β是第三象限角，∴cosβ＝－45，∴sin(2β＋7π)＝－sin2β＝－2sinβcosβ＝－2×－35×－45＝－2425.3．已知角α，β均为锐角，且cosα＝35，tan(α－β)＝－13，则tanβ＝()A.13B.913C.139D．3答案：D解析：由于α，β均为锐角，cosα＝35，则sinα＝45，tanα＝43.又tan(α－β)＝－13，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tanα－β1＋tanαtanα－β＝43＋131－43×13＝3.故选D.4．函数f(x)＝cos2x＋sin2x＋2(x∈R)的值域是()A．[2,3]B.52，3C．[1,4]D．[2,4]答案：A解析：因为f(x)＝cos2x＋sin2x＋2＝3－2sin2x＋sin2x＝3－sin2x，sinx∈[－1,1]，所以f(x)∈[2,3]．故选A.5．已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且α，β∈－π2，π2，则α＋β等于()A.π3B．－2π3C.π3或－2π3D．－π3或2π3答案：B解析：由题意，得tanα＋tanβ＝－33，tanαtanβ＝4，∴tanα0且tanβ0.又∵α，β∈－π2，π2，∴α，β∈(－π2，0)．tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－331－4＝3，又知α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π3.6．化简2＋cos2－sin21的结果是()A．－cos1B．cos1C.3cos1D．－3cos1答案：C解析：原式＝1＋cos21＋2cos21－1＝3cos21＝3cos1.二、填空题7．已知sinx＋π4＝35，则sin2x＝________.答案：－725解析：∵sinx＋π4＝35，∴sinx＋cosx＝325，两边平方，得1＋sin2x＝1825，∴sin2x＝－725.8．已知cosα－π6＋cosπ2－α＝435，且α∈0，π3，则sinα＋5π12＝________.答案：7210解析：因为cosα－π6＋cosπ2－α＝435，所以cosα－π6＋sinα＝435，所以32cosα＋12sinα＋sinα＝435，所以312cosα＋32sinα＝435，得sinα＋π6＝45.因为α∈0，π3，故α＋π6∈π6，π2，所以cosα＋π6＝35，所以sinα＋5π12＝sinα＋π6＋π4＝sinα＋π6cosπ4＋cosα＋π6sinπ4＝45×22＋35×22＝7210.9．已知θ为第二象限角，tan2θ＝－22，则2cos2θ2－sinθ－tan5π42sinθ＋π4＝________.答案：3＋22解析：∵tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－22，∴tanθ＝－22或tanθ＝2.∵π2＋2kπθπ＋2kπ，k∈Z，∴tanθ0，∴tanθ＝－22，2cos2θ2－sinθ－tan5π42sinθ＋π4＝2cos2θ2－sinθ－12sinθ＋π4＝cosθ－sinθcosθ＋sinθ＝1－tanθ1＋tanθ＝1＋221－22＝3＋22.三、解答题10．已知函数f(x)＝2sin13x－π6，x∈R.(1)求f(0)的值；(2)设α、β∈0，π2，f(3α＋π2)＝1013，f(3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．解：(1)f(0)＝2sin13×0－π6＝－2sinπ6＝－1.(2)f3α＋π2＝2sin133α＋π2－π6＝2sinα＝1013，∴sinα＝513.又α∈0，π2，∴cosα＝1213.同理f(3β＋2π)＝2sin133β＋2π－π6＝2sinβ＋π2＝2cosβ＝65，∴cosβ＝35，又β∈0，π2，∴sinβ＝45.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝513×35＋1213×45＝6365.11．已知α是第一象限的角，且cosα＝513，求sinα＋π4cos2α＋4π的值．解：sinα＋π4cos2α＋4π＝22cosα＋sinαcos2α＝22cosα＋sinαcos2α－sin2α＝22·1cosα－sinα.由已知可得sinα＝1213，∴原式＝22×1513－1213＝－13214.能力提升12．向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，a与b的夹角为60°，则直线xcosα－ysinα＝12与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝12的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．随α、β的值而定答案：B解析：cos60°＝a·b|a||b|＝6cosαcosβ＋6sinαsinβ2×3＝cos(α－β)＝12.圆心(cosβ，－sinβ)到直线xcosα－ysinα＝12的距离为cosαcosβ＋sinαsinβ－12cos2α＋－sinα2＝0，所以圆心在直线上，圆与直线相交．13．已知向量m＝(3sinx,1－3cosx)，n＝(1－sinx，cosx)，函数f(x)＝m·n＋3.(1)求函数f(x)的零点；(2)若f(α)＝85，且α∈π2，π，求cosα的值．解：(1)f(x)＝m·n＋3＝3sinx－3sin2x＋cosx－3cos2x＋3＝3sinx＋cosx＝2sinx＋π6.由2sinx＋π6＝0，得x＋π6＝kπ(k∈Z)，所以x＝kπ－π6(k∈Z)，所以函数f(x)的零点为x＝kπ－π6(k∈Z)．(2)由(1)，知f(α)＝2sinα＋π6＝85，所以sinα＋π6＝45，因为α∈π2，π，所以2π3α＋π67π6，则cosα＋π6＝－35，所以cosα＝cosα＋π6－π6＝cosα＋π6cosπ6＋sinα＋π6sinπ6＝－35×32＋45×12＝4－3310.