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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 高中人教A版数学必修4习题课四Word版含解析
1、习题课(四)一、选择题1.若α∈(0,π),且cosα+sinα=-13,则cos2α=()A.179B.-1710C.-179D.1710答案:A解析:因为cosα+sinα=-13,α∈(0,π),所以sin2α=-89,cosα0,且α∈3π4,π,所以2α∈3π2,2π,所以cos2α=1-sin22α=179.故选A.2.已知sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα=35,β是第三象限角,则sin(2β+7π)=()A.2425B.-2425C.-1225D.1225答案:B解析:∵sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα=sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=sin[(α-β)-α]=sin(-β)=-sinβ=35,∴sinβ=-35.又β是第三象限角,∴cosβ=-45,∴sin(2β+7π)=-sin2β=-2sinβcosβ=-2×-35×-45=-2425.3.已知角α,β均为锐角,且cosα=35,tan(α-β)=-13,则tanβ=()A.13B.913C.139D.3答案:D解析:由于α,。
2、β均为锐角,cosα=35,则sinα=45,tanα=43.又tan(α-β)=-13,所以tanβ=tan[α-(α-β)]=tanα-tanα-β1+tanαtanα-β=43+131-43×13=3.故选D.4.函数f(x)=cos2x+sin2x+2(x∈R)的值域是()A.[2,3]B.52,3C.[1,4]D.[2,4]答案:A解析:因为f(x)=cos2x+sin2x+2=3-2sin2x+sin2x=3-sin2x,sinx∈[-1,1],所以f(x)∈[2,3].故选A.5.已知tanα,tanβ是方程x2+33x+4=0的两根,且α,β∈-π2,π2,则α+β等于()A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.-π3或2π3答案:B解析:由题意,得tanα+tanβ=-33,tanαtanβ=4,∴tanα0且tanβ0.又∵α,β∈-π2,π2,∴α,β∈(-π2,0).tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-331-4=3,又知α+β∈(-π,0),∴α+β=-2π3.6.化简2+cos2-sin21的结果是(。
3、)A.-cos1B.cos1C.3cos1D.-3cos1答案:C解析:原式=1+cos21+2cos21-1=3cos21=3cos1.二、填空题7.已知sinx+π4=35,则sin2x=________.答案:-725解析:∵sinx+π4=35,∴sinx+cosx=325,两边平方,得1+sin2x=1825,∴sin2x=-725.8.已知cosα-π6+cosπ2-α=435,且α∈0,π3,则sinα+5π12=________.答案:7210解析:因为cosα-π6+cosπ2-α=435,所以cosα-π6+sinα=435,所以32cosα+12sinα+sinα=435,所以312cosα+32sinα=435,得sinα+π6=45.因为α∈0,π3,故α+π6∈π6,π2,所以cosα+π6=35,所以sinα+5π12=sinα+π6+π4=sinα+π6cosπ4+cosα+π6sinπ4=45×22+35×22。
4、=7210.9.已知θ为第二象限角,tan2θ=-22,则2cos2θ2-sinθ-tan5π42sinθ+π4=________.答案:3+22解析:∵tan2θ=2tanθ1-tan2θ=-22,∴tanθ=-22或tanθ=2.∵π2+2kπθπ+2kπ,k∈Z,∴tanθ0,∴tanθ=-22,2cos2θ2-sinθ-tan5π42sinθ+π4=2cos2θ2-sinθ-12sinθ+π4=cosθ-sinθcosθ+sinθ=1-tanθ1+tanθ=1+221-22=3+22.三、解答题10.已知函数f(x)=2sin13x-π6,x∈R.(1)求f(0)的值;(2)设α、β∈0,π2,f(3α+π2)=1013,f(3β+2π)=65,求sin(α+β)的值.解:(1)f(0)=2sin13×0-π6=-2sinπ6=-1.(2)f3α+π2=2sin133α+π2-π6=2sinα=1013,∴sinα=513.又α∈0,π2,∴cosα=1213.同理f(3β+2π)=2sin13。
5、3β+2π-π6=2sinβ+π2=2cosβ=65,∴cosβ=35,又β∈0,π2,∴sinβ=45.∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=513×35+1213×45=6365.11.已知α是第一象限的角,且cosα=513,求sinα+π4cos2α+4π的值.解:sinα+π4cos2α+4π=22cosα+sinαcos2α=22cosα+sinαcos2α-sin2α=22·1cosα-sinα.由已知可得sinα=1213,∴原式=22×1513-1213=-13214.能力提升12.向量a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),a与b的夹角为60°,则直线xcosα-ysinα=12与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=12的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.随α、β的值而定答案:B解析:cos60°=a·b|a||b|=6cosαcosβ+6sinαsinβ2×3=cos(α-β)=12.圆心(cosβ,-sinβ)到直线xcosα-ysinα=12的距离为。
6、cosαcosβ+sinαsinβ-12cos2α+-sinα2=0,所以圆心在直线上,圆与直线相交.13.已知向量m=(3sinx,1-3cosx),n=(1-sinx,cosx),函数f(x)=m·n+3.(1)求函数f(x)的零点;(2)若f(α)=85,且α∈π2,π,求cosα的值.解:(1)f(x)=m·n+3=3sinx-3sin2x+cosx-3cos2x+3=3sinx+cosx=2sinx+π6.由2sinx+π6=0,得x+π6=kπ(k∈Z),所以x=kπ-π6(k∈Z),所以函数f(x)的零点为x=kπ-π6(k∈Z).(2)由(1),知f(α)=2sinα+π6=85,所以sinα+π6=45,因为α∈π2,π,所以2π3α+π67π6,则cosα+π6=-35,所以cosα=cosα+π6-π6=cosα+π6cosπ6+sinα+π6sinπ6=-35×32+45×12=4-3310.。
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