高中人教A版数学必修4模块综合测试卷Word版含解析

模块综合测试卷班级____姓名____考号____分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．－3290°角是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：D解析：－3290°＝－360°×10＋310°∵310°是第四象限角∴－3290°是第四象限角2．在单位圆中，一条弦AB的长度为3，则该弦AB所对的弧长l为()A.23πB.34πC.56πD．π答案：A解析：设该弦AB所对的圆心角为α，由已知R＝1，∴sinα2＝AB2R＝32，∴α2＝π3，∴α＝23π，∴l＝αR＝23π.3．下列函数中周期为π2的偶函数是()A．y＝sin4xB．y＝cos22x－sin22xC．y＝tan2xD．y＝cos2x答案：B解析：A中函数的周期T＝2π4＝π2，是奇函数．B可化为y＝cos4x，其周期为T＝2π4＝π2，是偶函数．C中T＝π2，是奇函数，D中T＝2π2＝π，是偶函数．故选B.4．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)·b＝6a＋3b，则x－y的值为()A．3B．－3C．0D．2答案：A解析：由原式可得3x－4y＝6，2x－3y＝3，解得x＝6，y＝3.∴x－y＝3.5．在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则四边形ABCD是()A．长方形B．平行四边形C．菱形D．梯形答案：D解析：AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝－8a－2b＝2BC→，且|AD→|≠|BC→|∴四边形ABCD是梯形．6．已知向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈－π2，π2，则|a＋b|的取值范围是()A．[0，2]B．[0,2]C．[1,2]D．[2，2]答案：D解析：|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cosθ，因为θ∈－π2，π2，所以2＋2cosθ∈[2,4]，所以|a＋b|的取值范围是[2，2]．7．已知cosα＝－45，且α∈π2，π，则tanπ4－α＝()A．－17B．7C.17D．－7答案：B解析：∵α∈π2，π，cosα＝－45，∴sinα＝35，tanα＝－34，tanπ4－α＝1－－341＋－34＝7.8．函数f(x)＝2sinx－π2的部分图象是()答案：C解析：∵f(x)＝2sinx－π2，∴f(π－x)＝2sinπ－x－π2＝2sinπ2－x＝f(x)，∴f(x)的图象关于直线x＝π2对称．排除A、B、D.9．y＝2cosπ4－2x的单调减区间是()A.kπ＋π8，kπ＋58π(k∈Z)B.－38π＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)C.π8＋2kπ，58π＋2kπ(k∈Z)D.－38π＋2kπ，π8＋2kπ(k∈Z)答案：A解析：y＝2cosπ4－2x＝2cos2x－π4.由2kπ≤2x－π4≤π＋2kπ，(k∈Z)得π8＋kπ≤x≤58π＋kπ(k∈Z)时，y＝2cos2x－π4单调递减．故选A.10．已知ω0,0φπ，直线x＝π4和x＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ的值为()A.π4B.π3C.π2D.3π4答案：A解析：因为直线x＝π4和x＝5π4是函数图象中相邻的两条对称轴，所以5π4－π4＝T2，即T2＝π，T＝2π.又T＝2πω＝2π，所以ω＝1，所以f(x)＝sin(x＋φ)．因为直线x＝π4是函数图象的对称轴，所以π4＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，所以φ＝π4＋kπ，k∈Z.因为0φπ，所以φ＝π4，检验知，此时直线x＝5π4也为对称轴．故选A.11．若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，则|a＋b|的最小值为()A.2－1B．2－2C.2D．2答案：C解析：|a＋b|＝2x2＋2x＋2≥2.12．若0απ2，－π2β0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2＝()A.33B．－33C.539D．－69答案：C解析：∵α＋β2＝α＋π4－π4－β2，∴cosα＋β2＝cosα＋π4－π4－β2＝cosα＋π4cosπ4－β2＋sinα＋π4sinπ4＋β2＝13×33＋223×63＝3＋439＝539.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知|a|＝4，a与b的夹角为π6，则a在b方向上的投影为__________．答案：23解析：由投影公式计算：|a|cosπ6＝23.14．函数y＝2sinxcosx－1，x∈R的值域是______．答案：[－2,0]解析：y＝2sinxcosx－1＝sin2x－1，∵x∈R，∴sin2x∈[－1,1]，∴y∈[－2,0]．15．已知函数f(x)＝3sinωx－π6(ω0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈0，π2，则f(x)的取值范围是________．答案：－32，3解析：由f(x)与g(x)的图像的对称轴完全相同，易知：ω＝2，因为x∈0，π2，所以2x－π6∈－π6，5π6，则f(x)的最小值为3sin－π6＝－32，最大值为3sinπ2＝3，所以f(x)的取值范围是－32，3.16．下列判断正确的是________．(填写所有正确判断序号)①若sinx＋siny＝13，则siny－cos2x的最大值是43②函数y＝sinπ4＋2x的单调增区间是kπ－π8，kπ＋3π8(k∈Z)③函数f(x)＝1＋sinx－cosx1＋sinx＋cosx是奇函数④函数y＝tanx2－1sinx的最小正周期是π答案：①④解析：①siny－cos2x＝sin2x－sinx－23，∴sinx＝－1时，最大值为43.②2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，∴kπ－3π8≤x≤kπ＋π8.③定义域不关于原点对称．④y＝tanx2－1sinx＝－1tanx，∴T＝π.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α终边上一点P(－4,3)，求cosπ2＋αsin－π－αcos11π2－αsin9π2＋α的值．解：∵tanα＝yx＝－34∴cosπ2＋αsin－π－αcos11π2－αsin9π2＋α＝－sinα·sinα－sinα·cosα＝tanα＝－34.18．(12分)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(1，－2)，且m·n＝0.(1)求tanA的值；(2)求函数f(x)＝cos2x＋tanA·sinx(x∈R)的值域．解：(1)∵m·n＝0，∴sinA－2cosA＝0.∴tanA＝sinAcosA＝2.(2)f(x)＝cos2x＋tanAsinx＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2sinx－122＋32.∵－1≤sinx≤1∴sinx＝12时，f(x)取最大值32，sinx＝－1时，f(x)取最小值－3，∴f(x)的值域为－3，32.19．(12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝52，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.解：(1)设c＝(x，y)．∵|c|＝25，∴x2＋y2＝25，即x2＋y2＝20.①∵c∥a，a＝(1,2)∵2x－y＝0，即y＝2x，②联立①②得x＝2y＝4或x＝－2y＝－4，∴c＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0.∵|a|2＝5，|b|2＝54，代入上式得a·b＝－52，∴cosθ＝a·b|a|·|b|＝－525×52＝－1.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.20．(12分)已知函数f(x)＝cos2x－π6－sin2x.(1)求fπ12的值；(2)若对于任意的x∈0，π2，都有f(x)≤c，求实数c的取值范围．解：(1)fπ12＝cos2－π12－sin2π12＝cosπ6＝32.(2)f(x)＝121＋cos2x－π3－12(1－cos2x)＝12cos2x－π3＋cos2x＝1232sin2x＋32cos2x＝32sin2x＋π3.因为x∈0，π2，所以2x＋π3∈π3，4π3，所以当2x＋π3＝π2，即x＝π12时，f(x)取得最大值32.所以对任意x∈0，π2，f(x)≤c等价于32≤c.故当对任意x∈0，π2，f(x)≤c时，c的取值范围是32，＋∞.21．(12分)已知sinα＋cosα＝355，α∈0，π4，sinβ－π4＝35，β∈π4，π2.(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈0，π2，∴cos2α＝1－sin22α＝35，∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈π4，π2，β－π4∈0，π4，∴cosβ－π4＝45，于是sin2β－π4＝2sinβ－π4cosβ－π4＝2425.又sin2β－π4＝－cos2β，∴cos2β＝－2425.又2β∈π2，π，∴sin2β＝725，又cos2α＝1＋cos2α2＝45，∴cosα＝25，∴sinα＝15α∈0，π4.∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝255×－2425－55×725＝－11525.22．(12分)如图，点P0，A2是函数y＝Asin2π3x＋φ(其中A0，φ∈[0，π))的图象与y轴的交点，点Q，点R是它与x轴的两个交点．(1)求φ的值；(2)若PQ⊥PR，求A的值．解：(1)∵函数经过点P0，A2，∴sinφ＝12，又∵φ∈[0，π)，且点P在递增区间上，∴φ＝π6.(2)由(1)可知y＝Asin2π3＋π6.令y＝0，得sin2π3x＋π6＝0，∴2π3x＋π6＝kπ，(k∈Z)，∴可得x＝－14，54，∴Q－14，0，R54，0.又∵P0，A2，∴PQ→＝－14，－A2，PR→＝54，－A2.∵PQ⊥PR，∴PQ→·PR→＝－516＋14A2＝0，解得A＝52.