高中人教A版数学必修4第27课时两角差的余弦公式Word版含解析

第27课时两角差的余弦公式课时目标掌握两角差的余弦公式及推导，能用公式进行简单的恒等变形．识记强化cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ课时作业一、选择题1．cos(－75°)的值是()A.6－22B.6＋22C.6－24D.6＋24答案：C解析：cos(－75°)＝cos(45°－120°)＝cos45°·cos120°＋sin45°sin120°＝22×－12＋22×32＝6－24，故选C.2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cosα＝1213，sinβ＝－35，则cos(α－β)的值为()A．－6365B．－3365C.6365D.3365答案：A解析：∵α为锐角，且cosα＝1213，∴sinα＝1－cos2α＝513.∵β为第三象限角，且sinβ＝－35，∴cosβ＝－1－sin2β＝－45，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1213×－45＋513×－35＝－6365.故选A.3．已知锐角α，β满足cosα＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为()A.3365B．－3365C.5465D．－5465答案：A解析：∵α，β为锐角，cosα＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sinα＝45，sin(α＋β)＝1213，∴cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－513×35＋1213×45＝3365.4．在△ABC中，若sinAsinBcosAcosB，则△ABC是()A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形答案：D解析：由题意，得cosAcosB－sinAsinB0.即cos(A＋B)0，－cosC0，cosC0.又0Cπ，故π2Cπ，△ABC为钝角三角形．5．已知α，β均为锐角，且cosα＝255，cosβ＝1010，则α－β等于()A.π4B．－π4C.π2D．－π2答案：B解析：因为α，β均为锐角，所以sinα＝55，sinβ＝31010.cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝22又∵sinαsinβ；∴0αβπ2，∴－π2α－β0.故α－β＝－π4.6．若cosπ4＋x＝45，x∈3π2，7π4，则cosx的值为()A.210B.7210C.310D.7310答案：A解析：∵x∈3π2，7π4，∴x＋π4∈7π4，2π.∴sinx＋π4＝－35.∴cosx＝cosx＋π4－π4＝cosx＋π4cosπ4＋sinx＋π4sinπ4＝2245－35＝210.二、填空题7．－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝________.答案：cos1°解析：－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝－sin40°·(－sin39°)＋cos40°cos39°＝cos(40°－39°)＝cos1°.8．已知α是第二象限角，sinα＋π3＝－35，则cosα＝________.答案：－4＋3310解析：因为α是第二象限角，sinα＋π3＝－350，所以α＋π3是第三象限角，所以cosα＋π3＝－45，所以cosα＝cosα＋π3－π3＝12cosα＋π3＋32sinα＋π3＝－4＋3310.9．若a＝(cos60°，sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，则a·b＝________.答案：22解析：a·b＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝22.三、解答题10．已知sin(π－α)＝437，cos(α－β)＝1314，0βαπ2，求角β的大小．解：因为sin(π－α)＝437，所以sinα＝437.因为0απ2，所以cosα＝1－sin2α＝17.因为cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，所以0α－βπ2，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314.所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.因为0βπ2，所以β＝π3.11．已知函数f(x)＝－cos2xcos5π4＋sin2xsin9π4.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若π8αβπ2，f(α)＝2＋64，且f(β)＝6－24，求角2β－2α的大小．解：(1)因为f(x)＝－cos2xcos5π4＋sin2xsin9π4，所以f(x)＝cos2xcosπ4＋sin2xsinπ4＝cos2x－π4，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(α)＝2＋64，且f(β)＝6－24，所以cos2α－π4＝2＋64，cos2β－π4＝6－24.又π8αβπ2，所以2α－π4，2β－π4∈0，3π4，所以sin2α－π4＝1－cos22α－π4＝6－24，sin2β－π4＝1－cos22β－π4＝6＋24，所以cos(2β－2α)＝cos2β－π4－2α－π4＝cos2β－π4cos2α－π4＋sin2β－π4sin2α－π4＝6－24×6＋24＋6＋24×6－24＝12.又π8αβπ2，所以02β－2α3π4，所以2β－2α＝π3.能力提升12．若cos(α－β)＝55，cos2α＝1010，且α、β均为锐角，αβ，则α＋β的值为()A.π6B.π4C.3π4D.5π6答案：C解析：∵0απ2，0βπ2，αβ，∴－π2α－β0.又cos(α－β)＝55，∴sin(α－β)＝－1－cos2α－β＝－255.又∵02απ，cos2α＝1010，∴sin2α＝1－cos22α＝31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×－255＝－22.又0α＋βπ，故α＋β＝3π4.13．已知sinα＋sinβ＝22，求cosα＋cosβ的取值范围．解：由sinα＋sinβ＝22，平方得，sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝12，①设cosα＋cosβ＝m，平方得，cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝m2,②由①＋②，得sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＋cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝m2＋12，整理得，m2＝32＋2cos(α－β)．又由于cos(α－β)∈[－1,1]，m20，所以0≤m2≤72，解得－142≤m≤142.∴cosα＋cosβ的取值范围是－142，142.