高中人教A版数学必修4第二章章末检测Word版含解析

第二章章末检测班级____姓名____考号____分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列各式叙述不正确的是()A．若a＝λb，则a、b共线B．若b＝3a(a为非零向量)，则a、b共线C．若m＝3a＋4b，n＝32a－2b，则m∥nD．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c答案：C解析：根据共线向量定理及向量的线性运算易解．2．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是()A．|a|＝a·aB．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·bD．|a·b|≤|a|·|b|答案：B解析：|a·b|＝|a|·|b||cosθ|，只有a与b共线时，才有|a·b|＝|a||b|，可知B是错误的．3．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为()A.35，－45B.45，－35C.－35，45D.－45，35答案：A解析：AB→＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e＝AB→|AB→|＝15(3，－4)＝35，－45.4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，那么()A.AO→＝OD→B.AO→＝2OD→C.AO→＝3OD→D．2AO→＝OD→答案：A解析：由于2OA→＋OB→＋OC→＝0，则OB→＋OC→＝－2OA→＝2AO→.所以12(OB→＋OC→)＝AO→，又D为BC边中点，所以OD→＝12(OB→＋OC→)．所以AO→＝OD→.5．若|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案：C解析：a·(b－a)＝a·b－a2＝1×6×cosθ－1＝2，cosθ＝12，θ∈[0，π]，故θ＝π3.6．若四边形ABCD满足：AB→＋CD→＝0，(AB→＋DA→)⊥AC→，则该四边形一定是()A．矩形B．菱形C．正方形D．直角梯形答案：B解析：由AB→＋CD→＝0⇒AB→∥DC→且|AB→|＝|DC→|，即四边形ABCD是平行四边形，又(AB→＋DA→)⊥AC→⇒AC→⊥DB→，所以四边形ABCD是菱形．7．给定两个向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，若(a＋xb)⊥(a－b)，则x等于()A.1327B.132C.133D.727答案：D解析：a＋xb＝(2,1)＋(－3x,4x)＝(2－3x,1＋4x)，a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a＋xb)⊥(a－b)，∴(2－3x)·5＋(1＋4x)·(－3)＝0，∴x＝727.8．如图所示，在重600N的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为()A．3003N,3003NB．150N,150NC．3003N,300ND．300N,300N答案：C解析：如图：作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，|OA→|＝|OC→|cos30°＝3003N.|OB|→＝|OC→|sin30°＝300N.9．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝52，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C解析：由条件知|a|＝5，|b|＝25，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝5，∵(a＋b)·c＝52，∴5×5·cosθ＝52，其中θ为a＋b与c的夹角，∴θ＝60°，∵a＋b＝－a，∴a＋b与a方向相反，∴a与c的夹角为120°.10．若向量AB→＝(1，－2)，n＝(1,3)，且n·AC→＝6，则n·BC→等于()A．－8B．9C．－10D．11答案：D解析：n·AB→＝1－6＝－5，n·AC→＝n·(AB→＋BC→)＝n·AB→＋n·BC→＝6，∴n·BC→＝11.11．在边长为1的正三角形ABC中，BD→＝13BA→，E是CA的中点，则CD→·BE→等于()A．－12B．－23C．－13D．－16答案：A解析：建立如图所示的直角坐标系，则A－12，0，B12，0，C0，32，依题意设D(x1,0)，E(x2，y2)，∵BD→＝13BA→，∴x1－12，0＝13(－1,0)，∴x1＝16.∵E是CA的中点，∴CE→＝12CA→，又CA→＝－12，－32，∴x2＝－14，y2＝34.∴CD→·BE→＝16，－32·－34，34＝16×－34＋－32×34＝－12.故选A.12．已知|a|＝22，|b|＝3，a，b的夹角为π4，如图所示，若AB→＝5a＋2b，AC→＝a－3b，且D为BC中点，则AD→的长度为()A.152B.152C．7D．8答案：A解析：AD→＝12(AB→＋AC→)＝12(5a＋2b＋a－3b)＝12(6a－b)∴|AD→|2＝14(36a2－12ab＋b2)＝2254.∴|AD→|＝152.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则a·b＝________.答案：3解析：a·b＝2×3×32＝3.14．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．答案：[0,1]解析：∵b·(a－b)＝0，∴a·b＝b2，即|a||b|·cosθ＝|b|2，当b≠0时，|b|＝|a|cosθ＝cosθ∈(0,1]，所以|b|∈[0,1]．15．设向量a与b的夹角为α，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则cosα＝________.答案：31010解析：设b＝(x，y)，则2b－a＝(2x－3,2y－3)＝(－1,1)，∴x＝1，y＝2，则b＝(1,2)，cosα＝a·b|a|·|b|＝932×5＝310＝31010.16．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°，其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)答案：②解析：①a与b的夹角为θ1，a与c的夹角为θ2.a·b＝a·c，有|a||b|cosθ1＝|a||c|cosθ2，得不到b＝c，错误．②a＝(1，k)，b＝(－2,6)，∵a∥b，∴b＝λa，得k＝－3.正确．③设|a|＝|b|＝|a－b|＝m(m0)，且a与a＋b的夹角为θ.则有(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝m2，∴2a·b＝m2.a·(a＋b)＝a2＋a·b＝m2＋m22＝3m22，(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝m2＋m2＋m2＝3m2，∴cosθ＝a·a＋b|a||a＋b|＝32m2m·3m＝32.∴θ＝30°.∴③错误．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是150°，计算：(1)(a＋2b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|.解：(1)(a＋2b)·(2a－b)＝2a2＋3a·b－2b2＝2|a|2＋3|a|·|b|·cos150°－2|b|2＝2×42＋3×4×8×－32－2×82＝－96－483.(2)|4a－2b|＝4a－2b2＝16a2－16a·b＋4b2＝16|a|2－16|a|·|b|·cos150°＋4|b|2＝16×42－16×4×8×－32＋4×82＝8(2＋6)18．(12分)已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，t∈R，(1)求|a＋tb|的最小值及相应的t值；(2)若a－tb与c共线，求实数t的值．解：(1)∵a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，∴a＋tb＝(－3,2)＋t(2,1)＝(－3＋2t,2＋t)，∴|a＋tb|＝－3＋2t2＋2＋t2＝5t2－8t＋13＝5t－452＋495≥495＝755，当且仅当t＝45时取等号，即|a＋tb|的最小值为755，此时t＝45.(2)∵a－tb＝(－3－2t,2－t)，又a－tb与c共线，c＝(3，－1)，∴(－3－2t)×(－1)－(2－t)×3＝0，解得t＝35.19．(12分)已知a＝(1,1)、b＝(0，－2)，当k为何值时，(1)ka－b与a＋b共线；(2)ka－b与a＋b的夹角为120°.解：∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)∵ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)a＋b＝(1，－1)(1)要使ka－b与a＋b共线，则－k－(k＋2)＝0，即k＝－1.(2)要使ka－b与a＋b的夹角为120°，∵|ka－b|＝k2＋k＋22，|a＋b|＝2，∴cos120°＝ka－b·a＋b|ka－b|·|a＋b|＝k－k－22·k2＋k＋22＝－12.即k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±3.20．(12分)已知向量OP1→、OP2→、OP3→满足条件OP1→＋OP2→＋OP3→＝0，|OP1→|＝|OP2→|＝|OP3→|＝1，求证：△P1P2P3是正三角形．证明：如图所示，设OD→＝OP1→＋OP2→，由于OP1→＋OP2→＋OP3→＝0，∴OP3→＝－OD→，|OD→|＝1，∴|OD→|＝1＝|P1D→|，∴∠OP1P2＝30°，同理可得∠OP1P3＝30°，∴∠P3P1P2＝60°.同理可得∠P2P3P1＝60°，∴△P1P2P3为正三角形．21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．解：(1)由题设知AB→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，则AB→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→＝(4,4)，所以|AB→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42，故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知OC→＝(－2，－1)，AB→－tOC→＝(3＋2t,5＋t)．由(AB→－tOC→)·OC→＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，即5t＝－11，所以t＝－115.22．(12分)设集合D＝{平面向量}，定义在D上的映射f满足：对任意x∈D，均有f(x)＝λx(λ∈R且λ≠0)．(1)若|a|＝|b|，且a、b不共线，试证明：[f(a)－f(b)]⊥(a＋b)；(2)若A(1,2)，B(3,6)，C(4,8)，且f(BC→)＝AB→，求f(AC→)·AB→.解：(1)证明：∵f(a)－f(b)＝λa－λb＝λ(a－b)，∴[f(a)－f(b)]·(a＋b)＝λ(a－b)(a＋b)＝λ(a2－b2)＝λ(|a|2－|b|2)＝0，∴[f(a)－f(b)]⊥(a＋b)．(2)由已知得AB→＝(2,4)，BC→＝(1,2)，AC→＝(3,6)．∵f(BC→)＝AB→，∴λBC→＝AB→.即λ(1,2)＝(2,4)，∴λ＝2.∴f(AC→)·AB→＝(2AC→)·AB→＝(6,12)·(2,4)＝60.