高中数学人教A必修5学业分层测评13等比数列的性质Word版含解析

学业分层测评（十三）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等比数列{an}的公比q＝－14，a1＝2，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数数列D．摆动数列【解析】因为等比数列{an}的公比为q＝－14，a1＝2，故a20，a30，…所以数列{an}是摆动数列．【答案】D2．(2014·重庆高考)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列【解析】设等比数列的公比为q，因为a6a3＝a9a6＝q3，即a26＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.【答案】D3．在等比数列{an}中，a3a4a5＝3，a6a7a8＝24，则a9a10a11的值为()A．48B．72C．144D．192【解析】∵a6a7a8a3a4a5＝q9＝8(q为公比)，∴a9a10a11＝a6a7a8q9＝24×8＝192.【答案】D4．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是()A．3B．27C．3或27D．15或27【解析】设此三数为3，a，b，则2a＝3＋b，a－62＝3b，解得a＝3，b＝3或a＝15，b＝27.所以这个未知数为3或27.【答案】C5．已知等比数列{an}各项均为正数，且a1，12a3，a2成等差数列，则a3＋a4a4＋a5等于()A.5＋12B.5－12C.1－52D．5＋12或5－12【解析】由题意，得a3＝a1＋a2，即a1q2＝a1＋a1q，∴q2＝1＋q，解得q＝1±52.又∵{an}各项均为正数，∴q0，即q＝1＋52.∴a3＋a4a4＋a5＝a1q2＋a1q3a1q3＋a1q4＝1q＝5－12.【答案】B二、填空题6．(2015·青岛高二检测)在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于．【解析】因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29＝512.因为a8＝a3·q5，所以q＝2.所以a7＝a8q＝256.【答案】2567.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x＋y＋z的值为．【解析】∵x2＝24，∴x＝1.∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6.同理，第二行后两格中数字分别为2.5,3.∴y＝5·123，z＝6·124.∴x＋y＋z＝1＋5·123＋6·124＝3216＝2.【答案】28．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是．【解析】由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均增长率只需利用a12a1＝m，所以月平均增长率为11m－1.【答案】11m－1三、解答题9．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比.【导学号：05920071】【解】设该数列的公比为q.由已知，得a1q－a1＝2，4a1q＝3a1＋a1q2，所以a1q－1＝2，q2－4q＋3＝0，解得a1＝1，q＝3.(q＝1舍去)故首项a1＝1，公比q＝3.10．(2015·福建高考改编)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，求p＋q的值．【解】不妨设ab，由题意得a＋b＝p0，ab＝q0，∴a0，b0，则a，－2，b成等比数列，a，b，－2成等差数列，∴ab＝－22，a－2＝2b，∴a＝4，b＝1，∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9.[能力提升]1．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝()A．±2B．±4C．2D．4【解析】∵T13＝4T9.∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9.∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4.∴a8a15＝±2.又∵{an}为递减数列，∴q0.∴a8a15＝2.【答案】C2．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝()A．16B．14C．4D．49【解析】∵2a3－a27＋2a11＝2(a3＋a11)－a27＝4a7－a27＝0，∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝b27＝16.【答案】A3．设{an}是公比为q的等比数列，|q|1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝.【解析】由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，说明{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，由于{an}中连续四项至少有一项为负，∴q0.又∵|q|1，∴{an}的连续四项为－24,36，－54,81.∴q＝36－24＝－32，∴6q＝－9.【答案】－94．在等差数列{an}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项．已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，求数列{kn}的通项kn.【解】依题设得an＝a1＋(n－1)d，a22＝a1a4，∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d，∵d≠0，∴d＝a1，得an＝nd.∴由已知得d,3d，k1d，k2d，…，knd，…是等比数列．又d≠0，∴数列1,3，k1，k2，…，kn，…也是等比数列，首项为1，公比为q＝31＝3，由此得k1＝9.等比数列{kn}的首项k1＝9，公比q＝3，∴kn＝9×qn－1＝3n＋1(n＝1,2,3，…)，即得到数列{kn}的通项为kn＝3n＋1.