高中数学人教A必修5学业分层测评21基本不等式abab2Word版含解析

学业分层测评（二十一）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则a＋b2cd的最小值是()A．0B．1C．2D．4【解析】a＋b2cd＝x＋y2xy≥4xyxy＝4，当且仅当x＝y时等号成立．【答案】D2．设x0，则y＝3－3x－1x的最大值是()A．3B．3－22C．3－23D．－1【解析】y＝3－3x－1x＝3－3x＋1x≤3－23x·1x＝3－23，当且仅当3x＝1x，即x＝33时取等号．【答案】C3．下列函数中，最小值为4的函数是()A．y＝x＋4xB．y＝sinx＋4sinxC．y＝ex＋4e－xD．y＝log3x＋logx81【解析】A、D不能保证是两正数之和，sinx取不到2，只有C项满足两项均为正，当且仅当x＝ln2时等号成立．【答案】C4．已知m＝a＋1a－2(a2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是()A．mnB．mnC．m＝nD．不确定【解析】∵a2，∴a－20.又∵m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2≥2a－2×1a－2＋2＝4(当且仅当a－2＝1a－2，即a＝3时，“＝”成立)．即m∈[4，＋∞)，由b≠0得b2≠0，∴2－b22，∴22－b24，即n4.∴n∈(0,4)，综上易知mn.【答案】A5．已知x0，y0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3B．4C.92D.112【解析】∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝8－x2x＋20.∴0x8，∴x＋2y＝x＋2·8－x2x＋2＝(x＋1)＋9x＋1－2≥2x＋1·9x＋1－2＝4.当且仅当x＋1＝9x＋1，即x＝2时，取“＝”号，此时x＝2，y＝1.【答案】B二、填空题6．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．【解析】设水池的造价为y元，长方体底的一边长为xm，由于底面积为4m2，所以另一边长为4xm．那么y＝120·4＋2·80·2x＋2·4x＝480＋320x＋4x≥480＋320·2x·4x＝1760(元)．当x＝2，即底为边长为2m的正方形时，水池的造价最低，为1760元．【答案】17607．若对任意x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．【解析】因为x0，所以x＋1x≥2.当且仅当x＝1时取等号，所以有xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤12＋3＝15，即xx2＋3x＋1的最大值为15，故a≥15.【答案】15，＋∞8．设a0，b0，给出下列不等式：①a2＋1a；②a＋1ab＋1b≥4；③(a＋b)1a＋1b≥4；④a2＋96a.其中恒成立的是________(填序号)．【解析】由于a2＋1－a＝a－122＋340，故①恒成立；由于a＋1a≥2，b＋1b≥2.∴a＋1ab＋1b≥4，故②恒成立；由于a＋b≥2ab，1a＋1b≥21ab，故(a＋b)·1a＋1b≥4，故③恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不能恒成立．【答案】①②③三、解答题9．(1)已知x3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；(2)已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求1x＋3y的最小值.【导学号：05920079】【解】(1)∵x3，∴x－30，∴f(x)＝4x－3＋x＝4x－3＋(x－3)＋3＝－43－x＋3－x＋3≤－243－x·3－x＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x，即x＝1时取等号，∴f(x)的最大值为－1.(2)法一∵x，y∈R＋，∴(x＋y)1x＋3y＝4＋yx＋3xy≥4＋23.当且仅当yx＝3xy，即x＝2(3－1)，y＝2(3－3)时取“＝”号．又x＋y＝4，∴1x＋3y≥1＋32，故1x＋3y的最小值为1＋32.法二∵x，y∈R＋，且x＋y＝4，∴1x＋3y＝x＋y4x＋3x＋y4y＝1＋y4x＋3x4y≥1＋2y4x·3x4y＝1＋32.当且仅当y4x＝3x4y，即x＝2(3－1)，y＝2(3－3)时取“＝”号．∴1x＋3y的最小值为1＋32.10．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？【解】设使用x年平均费用最少．由条件知，汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．因此，汽车使用x年总的维修费用为0.2＋0.2x2x万元．设汽车的年平均费用为y万元，则有y＝10＋0.9x＋0.2＋0.2x2xx＝10＋x＋0.1x2x＝1＋10x＋x10≥1＋210x·x10＝3.当且仅当10x＝x10，即x＝10时，y取最小值．即这种汽车使用10年时，年平均费用最少．[能力提升]1．(2015·湖南高考)若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为()A.2B．2C．22D．4【解析】由1a＋2b＝ab知a0，b0，所以ab＝1a＋2b≥22ab，即ab≥22，当且仅当1a＝2b，1a＋2b＝ab即a＝42，b＝242时取“＝”，所以ab的最小值为22.【答案】C2．若lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，则xy的最小值为()A．1B．2C．3D．4【解】由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，得x0，y0，3xy＝x＋y＋1，因为x0，y0，所以3xy＝x＋y＋1≥2xy＋1，所以3xy－2xy－1≥0，即3(xy)2－2xy－1≥0，所以(3xy＋1)(xy－1)≥0，所以xy≥1，所以xy≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，所以xy的最小值为1.【答案】A3．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时2x＋1y－2z的最大值为________．【解析】xyz＝xyx2－3xy＋4y2＝1xy＋4yx－3≤14－3＝1当且仅当x＝2y时等式成立，此时z＝2y2，2x＋1y－2z＝－1y2＋2y＝－1y－12＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.【答案】14．已知函数f(x)＝lgx(x∈R＋)，若x1，x2∈R＋，判断12[f(x1)＋f(x2)]与fx1＋x22的大小并加以证明．【解】12[f(x1)＋f(x2)]≤fx1＋x22.证明：f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lg(x1·x2)，fx1＋x22＝lgx1＋x22.∵x1，x2∈R＋，∴x1＋x22≥x1·x2，∴lgx1·x2≤lgx1＋x22，即12lg(x1·x2)≤lgx1＋x22，∴12(lgx1＋lgx2)≤lgx1＋x22.故12[f(x1)＋f(x2)]≤fx1＋x22.