高中数学人教A必修5学业分层测评5三角形中的几何计算Word版含解析

学业分层测评（五）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知方程x2sinA＋2xsinB＋sinC＝0有重根，则△ABC的三边a，b，c的关系满足()A．b＝acB．b2＝acC．a＝b＝cD．c＝ab【解析】由方程有重根，∴Δ＝4sin2B－4sinAsinC＝0，即sin2B＝sinAsinC，∴b2＝ac.【答案】B2．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则角A的对边的长为()A.57B.37C.21D．13【解析】∵S△ABC＝12bcsinA＝12×1×c×sin60°＝3，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos60°＝1＋16－2×1×4×12＝13.∴a＝13.【答案】D3．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R＝()A.12B．1C．22D．522【解析】S△ABC＝12acsinB＝24c＝2，∴c＝42.b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－82×22＝25，∴b＝5.∴R＝b2sinB＝52×22＝522.【答案】D4．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32B.332C.3＋62D．3＋394【解析】在△ABC中，由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即7＝AB2＋4－2×2×AB×12.整理得AB2－2AB－3＝0.解得AB＝－1(舍去)或AB＝3.故BC边上的高AD＝AB·sinB＝3×sin60°＝332.【答案】B5．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且ABC,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4【解析】由题意知：a＝b＋1，c＝b－1，所以3b＝20acosA＝20(b＋1)·b2＋c2－a22bc＝20(b＋1)·b2＋b－12－b＋122bb－1，整理得7b2－27b－40＝0，解之得：b＝5(负值舍去)，可知a＝6，c＝4.结合正弦定理可知sinA∶sinB∶sinC＝6∶5∶4.【答案】D二、填空题6．在△ABC中，B＝60°，AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为．【解析】画出三角形知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos60°＝3，∴AD＝3.【答案】37．有一三角形的两边长分别为3cm,5cm，其夹角α的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是cm2.【解析】解方程5x2－7x－6＝0，得x＝2或x＝－35，∵|cosα|≤1，∴cosα＝－35，sinα＝45.故S△＝12×3×5×45＝6(cm2)．【答案】68．(2016·郑州模拟)在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为．【解析】由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即49＝a2＋25－2×5×acos120°.整理得a2＋5a－24＝0，解得a＝3或a＝－8(舍)．∴S△ABC＝12acsinB＝12×3×5sin120°＝1534.【答案】1534三、解答题9．已知△ABC的三内角满足cos(A＋B)cos(A－B)＝1－5sin2C，求证：a2＋b2＝5c2.【导学号：05920063】【证明】由已知得cos2Acos2B－sin2Asin2B＝1－5sin2C，∴(1－sin2A)(1－sin2B)－sin2Asin2B＝1－5sin2C，∴1－sin2A－sin2B＝1－5sin2C，∴sin2A＋sin2B＝5sin2C.由正弦定理得，所以a2R2＋b2R2＝5c2R2，即a2＋b2＝5c2.10．(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积．【解】(1)由题设及余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC．②由①，②得cosC＝12，故C＝60°，BD＝7.(2)四边形ABCD的面积S＝12AB·DAsinA＋12BC·CDsinC＝12×1×2＋12×3×2·sin60°＝23.[能力提升]1．已知锐角△ABC中，|AB→|＝4，|AC→|＝1，△ABC的面积为3，则AB→·AC→的值为()A．2B．－2C．4D．－4【解析】由题意S△ABC＝12|AB→||AC→|sinA＝3，得sinA＝32，又△ABC为锐角三角形，∴cosA＝12，∴AB→·AC→＝|AB→||AC→|cosA＝2.【答案】A2．在斜三角形ABC中，sinA＝－2cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－2，则角A的值为()A.π4B.π3C.π2D．3π4【解析】由题意知，sinA＝－2cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－2cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－2，tan(B＋C)＝tanB＋tanC1－tanBtanC＝－1＝－tanA，所以角A＝π4.【答案】A3．(2015·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为315，b－c＝2，cosA＝－14，则a的值为．【解析】在△ABC中，由cosA＝－14可得sinA＝154，所以有12bc×154＝315，b－c＝2，a2＝b2＋c2－2bc×－14，解得a＝8，b＝6，c＝4.【答案】84．(2015·陕西高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3b)与n＝(cosA，sinB)平行．(1)求A；(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积．【解】(1)因为m∥n，所以asinB－3bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－3sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝3.由于0Aπ，所以A＝π3.(2)法一由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝7，b＝2，A＝π3，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0.因为c0，所以c＝3.故△ABC的面积为12bcsinA＝332.法二由正弦定理，得7sinπ3＝2sinB，从而sinB＝217.又由ab，知AB，所以cosB＝277.故sinC＝sin(A＋B)＝sinB＋π3＝sinBcosπ3＋cosBsinπ3＝32114.所以△ABC的面积为12absinC＝332.