高中数学人教A必修5模块综合测评1Word版含解析

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a1，b1，那么下列命题中正确的是()A.1a1bB.ba1C．a2b2D．aba＋b【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a1b，A错；ba0，B错；a2＝b2，C错．【答案】D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有()A．a1＝－2，d＝3B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2D．a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1B.3∶2∶1C.3∶2∶1D．2∶3∶1【解析】∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.∴a∶b∶c＝sin90°∶sin60°∶sin30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1.【答案】D4．在坐标平面上，不等式组y≥x－1，y≤－3|x|＋1所表示的平面区域的面积为()A.2B.32C.322D．2【解析】由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B，C两点横坐标分别为－1，12.∴S△ABC＝12×2×12－－1＝32.【答案】B5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝π3，b＝1，△ABC的面积为32，则a的值为()A．1B．2C.32D.3【解析】根据S＝12bcsinA＝32，可得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝3，故a＝3.【答案】D6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为()A．3B．4C．5D．6【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，又∵a2·a6＝a23，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，∴d＝－2a1，∴q＝a3a2＝3.【答案】A7．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈0，12恒成立，则a的最小值为()A．0B．－2C．－52D．－3【解析】x2＋ax＋1≥0在x∈0，12上恒成立⇔ax≥－x2－1⇔a≥－x＋1xmax，∵x＋1x≥52，∴－x＋1x≤－52，∴a≥－52.【答案】C8．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()A．a1d0，dS40B．a1d0，dS40C．a1d0，dS40D．a1d0，dS40【解析】∵a3，a4，a8成等比数列，∴a24＝a3a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，展开整理，得－3a1d＝5d2，即a1d＝－53d2.∵d≠0，∴a1d0.∵Sn＝na1＋nn－12d，∴S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－23d20.【答案】B9．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0(n∈N*)，bn是an和an＋1的等差中项，设Sn为数列{bn}的前n项和，则S6＝()A．189B．186C．180D．192【解析】由an＋1＝2an，知{an}为等比数列，∴an＝2n.∴2bn＝2n＋2n＋1，即bn＝3·2n－1，∴S6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.【答案】A10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc0，T＝1a＋1b＋1c，则()A．T0B．T0C．T＝0D．T≥0【解析】法一取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，则T＝－320，排除A，C，D，可知选B.法二由a＋b＋c＝0，abc0，知三数中一正两负，不妨设a0，b0，c0，则T＝1a＋1b＋1c＝ab＋bc＋caabc＝ab＋cb＋aabc＝ab－c2abc.∵ab0，－c20，abc0，故T0，应选B.【答案】B11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝()A．23B．2C.2D．1【解析】由正弦定理得：asinA＝bsinB，∵B＝2A，a＝1，b＝3，∴1sinA＝32sinAcosA.∵A为三角形的内角，∴sinA≠0.∴cosA＝32.又0＜A＜π，∴A＝π6，∴B＝2A＝π3.∴C＝π－A－B＝π2，∴△ABC为直角三角形．由勾股定理得c＝12＋32＝2.【答案】B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()A．13项B．12项C．11项D．10项【解析】设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积a31q3＝2，后三项之积a31q3n－6＝4，两式相乘，得a61q3(n－1)＝8，即a21qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，所以an1·qnn－12＝64，即(a21qn－1)n＝642，即2n＝642，所以n＝12.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC中，BC＝2，B＝π3，当△ABC的面积等于32时，sinC＝________.【导学号：05920086】【解析】由三角形的面积公式，得S＝12AB·BCsinπ3＝32，易求得AB＝1，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosπ3，得AC＝3，再由三角形的面积公式，得S＝12AC·BCsinC＝32，即可得出sinC＝12.【答案】1214．(2015·湖北高考)若变量x，y满足约束条件x＋y≤4，x－y≤2，3x－y≥0，则3x＋y的最大值是________．【解析】画出可行域，如图阴影部分所示，设z＝3x＋y，则y＝－3x＋z，平移直线y＝－3x知当直线y＝－3x＋z过点A时，z取得最大值．由x＋y＝4，x－y＝2，可得A(3,1)．故zmax＝3×3＋1＝10.【答案】1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k的取值范围为________．【解析】设产销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为70x·k%万元，其中x＝100－10k.由题意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.【答案】[2,8]16．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…照此规律，第n个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝________.【解析】分n为奇数、偶数两种情况．第n个等式为12－22＋32－…＋(－1)n－1n2.当n为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n－1)＝－n2×3＋2n－12＝－nn＋12.当n为奇数时，第n个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－2)2－(n－1)2]＋n2＝－nn－12＋n2＝nn＋12.综上，第n个等式为12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝(－1)n＋1nn＋12.【答案】(－1)n＋1nn＋12三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若m＝(a2＋c2－b2，－3a)，n＝(tanB，c)，且m⊥n，求∠B的值．【解】由m⊥n得(a2＋c2－b2)·tanB－3a·c＝0，即(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，得a2＋c2－b2＝3actanB，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝32tanB，即tanBcosB＝32，即sinB＝32，所以∠B＝π3或∠B＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{an}中，S9＝－36，S13＝－104，在等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7,求b6.【导学号：05920087】【解】∵S9＝－36＝9a5，∴a5＝－4，∵S13＝－104＝13a7，∴a7＝－8.∴b26＝b5·b7＝a5·a7＝32.∴b6＝±42.19．(本小题满分12分)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).【导学号：05920088】【解】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0⇒(ax－2)(x＋1)≥0.(1)当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0⇒x≤－1；(2)当a0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≥0⇒x≥2a或x≤－1；(3)当a0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≤0.①当2a－1，即a－2时，原不等式等价于－1≤x≤2a；②当2a＝－1，即a＝－2时，原不等式等价于x＝－1；③当2a－1，即－2a0时，原不等式等价于2a≤x≤－1.综上所述：当a－2时，原不等式的解集为－1，2a；当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2a0时，原不等式的解集为2a，－1；当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪2a，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，cosC＝14.(1)求△ABC的周长；(2)求cosA的值．【解】(1)∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×14＝4.∴c＝2.∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.(2)∵cosC＝14，∴sinC＝1－cos2C＝1－142＝154.∴sinA＝asinCc＝1542＝158.∵ac，∴AC，故A为锐角，∴cosA＝1－sin2A＝1－1582＝78.21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解】(1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．又a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15，∴an＋2an－1≠0(n≥2)，∴an＋1＋2anan＋2an－1＝3(n≥2)，∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，则an＋1＝－2an＋5×3n，∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴an－3n＝2×(－2)n－1，即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品，制造1tA,1tB产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：原料每种产品所需原料(t)现有原料数(t)AB甲2114乙1318利润(万元/t)53—(1)在现有原料条件下，生产A，B两种产品各多少时，才能使利润最大？(2)每吨B产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】(1)生产A，B两种产品分别为xt，yt，则利润z＝5x＋3y，x，y满足2x＋y≤14，x＋3y≤18，x≥0，y≥