高中数学人教A必修5模块综合测评2Word版含解析

模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列1,3,7,15，…的通项an可能是()A．2nB．2n＋1C．2n－1D．2n－1【解析】取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D.【答案】C2．不等式x2－2x－52x的解集是()A．{x|x≤－1或x≥5}B．{x|x－1或x5}C．{x|1x5}D．{x|－1≤x≤5}【解析】不等式化为x2－4x－50，所以(x－5)(x＋1)0，所以x－1或x5.【答案】B3．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于()A．16B．32C．64D．256【解析】∵{an}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a210(an0)，∴a8·a10·a12＝a310＝64.【答案】C4．下列不等式一定成立的是()A．lgx2＋14lgx(x0)B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋11(x∈R)【解析】选项具体分析结论Algx2＋14≥lg2x2·14＝lgx，当且仅当x2＝14时，即x＝12不正确B当sinx0时，不可能有sinx＋1sinx≥2不正确C由基本不等式x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|正确D因为x2＋1≥1，所以1x2＋1≤1不正确【答案】C5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3bsinA，则△ABC的面积等于()A.12B.32C．1D.34【解析】∵a＝3bsinA，∴由正弦定理得sinA＝3sinBsinA，∴sinB＝13.∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝12acsinB＝12×3×13＝12，故选A.【答案】A6．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是()A．T10B．T13C．T17D．T25【解析】由等比数列的性质得a3a6a18＝a6a10a11＝a8a9a10＝a39，而T17＝a179，故T17为常数．【答案】C7．已知不等式x2－2x－30的解集为A，不等式x2＋x－60的解集为B，不等式x2＋ax＋b0的解集是A∩B，那么a＋b等于()A．－3B．1C．－1D．3【解析】由题意：A＝{x|－1x3}，B＝{x|－3x2}，A∩B＝{x|－1x2}，由根与系数的关系可知：a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.【答案】A8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？()A．2B．3C．4D．5【解析】远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S7＝381.请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a1.代入公式Sn＝a11－qn1－q，即381＝a11－271－2，∴a1＝381127＝3.∴此塔顶有3盏灯．【答案】B9．若实数x，y满足x－y＋1≤0，x0，则yx的取值范围是()A．(0,1)B．(0,1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)【解析】实数x，y满足x－y＋1≤0，x0的相关区域如图中的阴影部分所示．yx表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，yx的取值范围为(1，＋∞)．【答案】C10．在△ABC中，若c＝2bcosA，则此三角形必是()A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．有一角为30°的直角三角形【解析】由正弦定理得sinC＝2cosAsinB，∴sin(A＋B)＝2cosAsinB，即sinAcosB＋cosAsinB＝2cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，所以sin(A－B)＝0.又因为－πA－Bπ，所以A－B＝0，即A＝B.【答案】A11．函数y＝x2＋2x－1(x1)的最小值是()A．23＋2B．23－2C．23D．2【解析】∵x1，∴x－10.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥23＋2.【答案】A12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tanB＝2－3a2－b2＋c2，BC→·BA→＝12，则tanB等于()A.32B.3－1C．2D．2－3【解析】由BC→·BA→＝12，得accosB＝12，∴2accosB＝1.又由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－1，∴a2－b2＋c2＝1，∴tanB＝2－31＝2－3.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x＋by＋10表示的平面区域内，则b的取值范围是______.【导学号：05920089】【解析】点P(1，－2)关于原点的对称点为点P′(－1，2)．由题意知2×1－2b＋10，－2＋2b＋10，解得12b32.【答案】12，3214．(2015·江苏高考)设数列{}an满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列1an前10项的和为________．【解析】由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝n－12＋n2＝n2＋n－22.又∵a1＝1，∴an＝n2＋n2(n≥2)．∵当n＝1时也满足此式，∴an＝n2＋n2(n∈N*)．∴1an＝2n2＋n＝21n－1n＋1.∴S10＝2×11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×1－111＝2011.【答案】201115．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．【解析】∵asinA＝bsinB＝csinC＝2R，a＝2，又(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.∴b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12＝cosA，∴A＝60°.∵在△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)，∴S△ABC＝12·bc·sinA≤12×4×32＝3.【答案】316．若1a1b0，已知下列不等式：①a＋bab；②|a||b|；③ab；④ba＋ab2；⑤a2b2；⑥2a2b.其中正确的不等式的序号为______．【解析】∵1a1b0，∴ba0，故③错；又ba0，可得|a||b|，a2b2，故②⑤错，可证①④⑥正确．【答案】①④⑥三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S120，S130.(1)求公差d的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．【解】(1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d，∵S120，S130，∴12a1＋66d0，13a1＋78d0，即24＋7d0，3＋d0，∴－247d－3.(2)∵S120，S130，∴a1＋a120，a1＋a130，∴a6＋a70，a70，∴a60，又由(1)知d0.∴数列前6项为正，从第7项起为负．∴数列前6项和最大．18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，求b－3a－1的最大值和最小值．【解】∵α＋β＝－a，αβ＝2b，∴a＝－α＋β，b＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2，∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.∴－3≤a≤－1，0≤b≤1，建立平面直角坐标系aOb，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．令k＝b－3a－1，可以看成动点P(a，b)与定点A(1,3)的连线的斜率．取B(－1,0)，C(－3,1)，则kAB＝32，kAC＝12，∴12≤b－3a－1≤32.故b－3a－1的最大值是32，最小值是12.19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2b－c)cosA－acosC＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，试求当△ABC的面积取最大值时，△ABC的形状.【导学号：05920090】【解】(1)∵(2b－c)cosA－acosC＝0，由余弦定理得(2b－c)·b2＋c2－a22bc－a·a2＋b2－c22ab＝0，整理得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∵0Aπ，∴A＝π3.(2)由(1)得b2＋c2－bc＝3及b2＋c2≥2bc得bc≤3.当且仅当b＝c＝3时取等号．∴S△ABC＝12bcsinA≤12×3×32＝334.从而当△ABC的面积最大时，a＝b＝c＝3.∴当△ABC的面积取最大值时△ABC为等边三角形．20．(本小题满分12分)已知函数y＝ax2＋2ax＋1的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a0.【解】(1)∵函数y＝ax2＋2ax＋1的定义域为R，∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立．①当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；②当a≠0时，则a0，Δ＝4a2－4a≤0，解得0a≤1.综上可知，a的取值范围是[0,1]．(2)由x2－x－a2＋a0，得(x－a)[x－(1－a)]0.∵0≤a≤1，∴①当1－aa，即0≤a12时，ax1－a；②当1－a＝a，即a＝12时，x－1220，不等式无解；③当1－aa，即12a≤1时，1－axa.综上，当0≤a12时，原不等式的解集为(a,1－a)；当a＝12时，原不等式的解集为∅；当12a≤1时，原不等式的解集为(1－a，a)．21．(本小题满分12分)若数列{an}满足a2n＋1－a2n＝d，其中d为常数，则称数列{an}为等方差数列．已知等方差数列{an}满足an0，a1＝1，a5＝3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列a2n12n的前n项和．【解】(1)由a21＝1，a25＝9，得a25－a21＝4d，∴d＝2.a2n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∵an0，∴an＝2n－1.数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)a2n12n＝(2n－1)12n，设Sn＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n－1)·12n，①12Sn＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n－1)·12n＋1，②①－②，得12Sn＝12＋2122＋123＋…＋12n－(2n－1)·12n＋1＝12＋2·141－12n－11－12－(2n－1)·12n＋1，即Sn＝3－2n＋32n，即数列a2n12n的前n项和为3－2n＋32n.22．(本小题满分12分)如图1所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)图1【解】轮船从点C到点B用时80分钟，从点B到点E用时20分钟，而船始终匀速航行，由此可见，BC＝4EB.设EB＝x，则BC