高中数学人教A版必修415同步试题含详解高中数学练习试题

1高中数学(人教A版)必修4同步试题1．把函数f(x)的图像向右平移π12个单位后得到函数y＝sinx＋π3的图像，则f(x)为()A．sinx＋712πB．sinx＋34πC．sinx＋5π12D．sinx－512π解析用x－π12代换选项中的x，化简得到y＝sinx＋π3的就是f(x)，代入选项C，有f(x)＝sinx－π12＋5π12＝sinx＋π3.答案C2．下列四个函数中，同时具有：①最小正周期是π，②图像关于x＝π3对称的是()A．y＝sin(x2＋π6)B．y＝sin(2x＋π6)C．y＝sin(2x－π3)D．y＝sin(2x－π6)解析当x＝π3时，y＝sin2x－π6＝sin2×π3－π6＝sinπ2＝1.∴函数y＝sin2x－π6的图像关于x＝π3对称，且周期T＝2π2＝π.答案D3．要将y＝sin2x＋π4的图像转化为某一个偶函数图像，只需将y＝sin2x＋π4的图像()A．向左平移π4个单位B．向右平移π4个单位C．向左平移π8个单位D．向右平移π8个单位解析把y＝sin2x＋π4的图像向左平移π8个单位即得y＝sin2x＋π8＋π4＝sin2x＋π2＝cos2x的图像．因为y＝cos2x为偶函数，所以符合题意．答案C24．已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω0)的最小正周期为π，则该函数的图像()A．关于点π3，0对称B．关于直线x＝π4对称C．关于点π4，0对称D．关于直线x＝π3对称解析由题意知ω＝2ππ＝2，∴f(x)＝sin2x＋π3.又fπ3＝sinπ＝0，∴图像关于点π3，0对称．答案A5．如下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b在一个周期内的图像，那么这个函数的一个解析式为()A．y＝2sinx2＋π6－1B．y＝2sin2x＋π6－1C．y＝3sin2x＋π3－1D．y＝3sin2x＋π6－13解析由图像知A＝2－－42＝3，b＝－1，T＝5π6－－π6＝π.∴ω＝2πT＝2，故可设解析式为y＝3sin(2x＋φ)－1，代入点7π12，－4，得－4＝3sin2×7π12＋φ－1，即sin7π6＋φ＝－1，∴φ＋7π6＝2kπ－π2(k∈Z)．令k＝1，解得φ＝π3，所以y＝3sin2x＋π3－1.答案C6．若f(x)＝2cos(ωx＋π3)的最小正周期不小于2，则正整数ω的最大值是________．解析由题意得2π|ω|≥2，∴|ω|≤π，又ω为正整数．∴ω的最大值为3.答案37．把函数y＝cos2x＋3π5的图像上各点向右平移π2个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的5倍，最后把整个图像向下平移4个单位，所得图像的解析式为________．解析第一步得y＝cos2x－π2＋3π5＝cos2x－2π5；第二步得y＝cos4x－2π5；第三步得y＝5cos4x－2π5；最后得y＝5cos4x－2π5－4.答案y＝5cos4x－2π5－48．若函数y＝acosx＋b(a，b为常数)的最大值为1，最小值为－7，则y＝3＋absinx的最大值为________．解析当a0时，依题意得a＋b＝1，－a＋b＝－7，⇒a＝4，b＝－3.4当a0时，依题意得－a＋b＝1，a＋b＝－7，⇒a＝－4，b＝－3.∴y＝3＋absinx的最大值为15.答案159．设函数f(x)＝sin12x＋φ0φπ2，y＝f(x)的图像的一条对称轴是直线x＝π4.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．解(1)∵x＝π4是y＝f(x)图像的一条对称轴，∴sin12×π4＋φ＝±1.∴π8＋φ＝kπ＋π2，k∈Z.∵0φπ2，∴φ＝3π8.(2)由(1)知φ＝3π8，∴f(x)＝sin12x＋3π8.由题意得2kπ－π2≤12x＋3π8≤2kπ＋π2，k∈Z，即4kπ－74π≤x≤4kπ＋π4，k∈Z.∴函数y＝f(x)的单调增区间为4kπ－74π，4kπ＋π4(k∈Z)．10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，x∈R)，在一个周期内的图像如下图所示，求直线y＝3与函数f(x)图像的所有交点的坐标．5解由图像得A＝2，T＝72π－－π2＝4π.则ω＝2πT＝12，故y＝2sin12x＋φ.又12×－π2＋φ＝0，∴φ＝π4.∴y＝2sin12x＋π4.由条件知3＝2sin12x＋π4，得12x＋π4＝2kπ＋π3(k∈Z)，或12x＋π4＝2kπ＋23π(k∈Z)．∴x＝4kπ＋π6(k∈Z)，或x＝4kπ＋56π(k∈Z)．则所有交点的坐标为4kπ＋π6，3或4kπ＋5π6，3(k∈Z).教师备课资源1.把函数y＝sinx的图像向右平移π8后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，所得到的函数的解析式为()A．y＝sin12x－π8B．y＝sin12x＋π8C．y＝sin2x－π8D．y＝sin2x－π4解析把函数y＝sinx的图像向右平移π8个单位，得到y＝sinx－π8的图像，再把各点的6横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin12x－π8的图像，应选A.答案A2．如图所示是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2图像的一部分，它的振幅，周期、初相分别是()A．A＝3，T＝43π，φ＝－π6B．A＝1，T＝4π3，φ＝－3π4C．A＝1，T＝2π3，φ＝－3π4D．A＝1，T＝2π3，φ＝－π6解析由图像知A＝12(3－1)＝1.T＝2×5π6－π6＝4π3.∴|ω|＝2πT＝32.∴y＝sin32x＋φ＋2，把点π6，1代入解得φ＝－3π4.答案B3．函数y＝－52sin4x＋2π3的图像与x轴的各个交点中，离原点最近的一点是________．解析令4x＋2π3＝kπ(k∈Z)，则x＝kπ4－π6(k∈Z)，令k＝1，得x＝π12.答案π12，074．要得到y＝sinx2＋π3的图像，需将函数y＝sinx2的图像至少向左平移________个单位长度．解析∵y＝sinx2＋π3＝sin12x＋2π3，∴将函数y＝sinx2的图像向左至少平移2π3个单位长度．答案2π3