高中数学人教A版必修4241同步试题含详解高中数学练习试题

1高中数学(人教A版)必修4同步试题1．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝()A．0B．22C．4D．8解析|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，∴|2a－b|＝22.答案B2．已知|a|＝6，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a·b等于()A．6＋3B．6－3C．6D．7解析a·b＝|a||b|cos60°＝6×2×cos60°＝6.答案C3．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝－4，则向量a与b的夹角为()A．30°B．60°C．150°D．120°解析cosθ＝a·b|a||b|＝－42×4＝－12，∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，故选D.答案D4．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为32，则a·b＝()A．3B.92C．2D.12解析由题意，得|a|cos〈a，b〉＝32，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×32＝92.答案B5．若非零向量a与b的夹角为2π3，|b|＝4，(a＋2b)·(a－b)＝－32，则向量a的模为()A．2B．4C．6D．12解析(a＋2b)·(a－b)＝a2＋2a·b－a·b－2b22＝a2＋a·b－2b2＝－32，又a·b＝|a||b|cos2π3＝|a|×4×－12＝－2|a|，∴|a|2－2|a|－2×42＝－32.∴|a|＝2，或|a|＝0(舍去)．答案A6．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝35，则b＝________.解析设b＝(x，y)，则y＝－2x，x2＋y2＝45.∴x2＝9.∴x＝±3，又a＝(－1,2)与b方向相反．∴b＝(3，－6)．答案(3，－6)7．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且|ka＋b|＝3|a－kb|(k0)．若a与b的夹角为60°，则k＝________.解析由|ka＋b|＝3|a－kb|，得k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，即(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.∵|a|＝1，|b|＝1，a·b＝1×1cos60°＝12，∴k2－2k＋1＝0，∴k＝1.答案17．已知两点A(2,3)，B(－4,5)，则与AB→共线的单位向量是________．解析AB→＝(－6,2)，∴|AB→|＝－62＋22＝210，∴与AB→共线的单位向量为±－31010，1010.答案(－31010，1010)或(31010，－1010)8．若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·(a＋b)＝1，则向量a，b的夹角的大小为________．解析∵|a|＝2，a·(a＋b)＝1，∴a2＋a·b＝2＋a·b＝1.∴a·b＝－1.3设a，b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝－12×1＝－22，又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.答案3π49．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，求a与b的夹角的取值范围．解依题意，Δ＝|a|2－4a·b≥0，∴|a|2≥4a·b.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|≤14|a|212|a|2＝12，又0≤θ≤π，∴θ∈π3，π.即a与b的夹角的取值范围是π3，π.10．已知|a|＝1，a·b＝12，(a－b)·(a＋b)＝12，求：(1)a与b的夹角；(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．解(1)∵(a－b)·(a＋b)＝12，∴|a|2－|b|2＝12.∵|a|＝1，∴|b|＝|a|2－12＝22.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝121·22＝22，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝12，∴|a－b|＝22.∵(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝52，4∴|a＋b|＝102.设a－b与a＋b的夹角为α，则cosα＝a－b·a＋b|a－b||a＋b|＝1222×102＝55.教师备课资源1.设a，b，c是三个向量，以下命题中正确的有()①若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c；②若a·b＝0，则a＝0，或b＝0；③若a，b，c互不共线，则(a·b)c＝a(b·c)；④(3a＋2b)(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.A．1个B．2个C．3个D．4个解析①，②，③均错，④正确．答案A2．△ABC中，AB→·AC→0，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案C3．已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则向量a在b方向上的投影是________，向量b在a方向上的投影是________．解析向量a在b方向上的投影是|a|cos60°＝4×12＝2，向量b在a方向上的投影是|b|cos60°＝6×12＝3.答案234．若向量|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝________.解析由|a－b|＝2，得|a|2－2a·b＋|b|2＝4.又|a|＝1，|b|＝2，∴2a·b＝1.∴|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋1＋4＝6.∴|a＋b|＝6.5答案65．已知a，b为两个单位向量，则下面说法正确的是()A．a＝bB．如果a∥b，那么a＝bC．a·b＝1D．a2＝b2解析∵a与b是单位向量，∴|a|＝|b|，∴a2＝b2.答案D6．已知两点A(2,3)，B(－4,5)，则与AB→共线的单位向量是________．解析AB→＝(－6,2)，∴|AB→|＝－62＋22＝210，∴与AB→共线的单位向量为±－31010，1010.答案－31010，1010或31010，－1010