高中数学人教A版必修432同步试题含详解高中数学练习试题

1高中数学(人教A版)必修4同步试题1．已知cosα＝－35，且α∈π，3π2，则cosα2的值为()A.55B．－55C.255D．－255解析∵πα3π2，∴π2α23π4，∴cosα20.由cosα＝2cos2α2－1＝－35，得cos2α2＝15，∴cosα2＝－55.答案B2．设α∈(π，2π)，则1－cosπ＋α2等于()A．sinα2B．cosα2C．－sinα2D．－cosα2解析∵α∈(π，2π)，∴α2∈π2，π，∴cosα20.∴1－cosπ＋α2＝1＋cosα2＝|cosα2|＝－cosα2.答案D3．函数y＝8sinxcosxcos2x的最小正周期为T，最大值为A，则()A．T＝π，A＝4B．T＝π2，A＝4C．T＝π，A＝2D．T＝π2，A＝2解析y＝8sinxcosxcos2x＝4sin2xcos2x＝2sin4x，∴最小正周期T＝2π4＝π2，最大值A＝2.答案D4．若α，β∈0，π2，且tanα＝43，tanβ＝17，则α－β的值为()A.π3B.π42C.π6D.π8解析tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝43－171＋43×17＝1.∵0α，βπ2，∴－π2α－βπ2，∴α－β＝π4.答案B5．若f(x)＝cos2x＋8sinx，则它的最大值和最小值分别是()A．最大值是9，最小值是－9B．最大值不存在，最小值为7C．最大值是7，最小值是－9D．最大值是7，最小值不存在解析f(x)＝cos2x＋8sinx＝1－2sin2x＋8sinx＝－2(sin2x－4sinx)＋1＝－2(sinx－2)2＋9.∵x∈R，－1≤sinx≤1，∴当sinx＝1时，f(x)有最大值7；当sinx＝－1时，f(x)有最小值－9.答案C6．函数y＝3sinxcosx＋3cos2x－32的最大值为________．解析y＝32sin2x＋3×1＋cos2x2－32＝32sin2x＋32cos2x＝3sin2x＋π3≤3.答案37．化简：sinA＋sin2A1＋cosA＋cos2A＝________.解析原式＝sinA＋2sinAcosAcosA＋2cos2A＝sinA1＋2cosAcosA1＋2cosA＝tanA.答案tanA8．若tanx＝2，则2cos2x2－sinx－1sinx＋cosx＝________.3解析2cos2x2－sinx－1sinx＋cosx＝cosx－sinxsinx＋cosx＝1－tanxtanx＋1＝1－22＋1＝22－3.答案22－39．在锐角△ABC中，求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.证明∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠A＋∠B＝π－∠C.∴tan(A＋B)＝tan(π－C)．∴tanA＋tanB1－tanAtanB＝－tanC.∴tanA＋tanB＝－tanC(1－tanAtanB)．∴tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.10．若α，β为锐角，且sinα－sinβ＝－12，cosα－cosβ＝12，求tan(α－β)．解∵sinα－sinβ＝－12，cosα－cosβ＝12，两式平方相加，得2－2cosαcosβ－2sinαsinβ＝12.即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34.∵α，β是锐角，且sinα－sinβ＝－120.∴0αβπ2，∴－π2α－β0.∴sin(α－β)＝－1－cos2α－β＝－74.∴tan(α－β)＝sinα－βcosα－β＝－73.教师备课资源1.下列各式中值为12的是()A．sin15°cos15°B．2cos2π12－14C.1＋cos30°2D.tan22.5°1－tan222.5解析sin15°cos15°＝12sin30°＝14.2cos2π12－1＝cosπ6＝32.1＋cos30°2＝1＋322＝2＋32.tan22.5°1－tan222.5°＝12·2tan22.5°1－tan222.5°＝12tan45°＝12，故选D.答案D2．函数y＝2cos2x－π4－1是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π2的奇函数C．最小正周期为π偶函数D．最小正周期为π2的偶函数解析因为y＝2cos2x－π4－1＝cos2x－π2＝sin2x，所以为奇函数，T＝2π2＝π.故选A.答案A3．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．解析f(x)＝cos2x＋sin2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，所以最小值为1－2.答案1－24．求下列各式的值．(1)tan20°＋4sin20°；(2)cos12°cos24°cos48°cos96°.分析在(1)中切化弦、通分变形求解，在(2)中，注意式子中所给角为倍数关系，且为余弦，可都乘除sin12°，利用倍角公式可解．解(1)原式＝sin20°＋2sin40°cos20°＝sin20°＋2sin60°－20°cos20°＝sin20°＋2sin60°cos20°－cos60°sin20°cos20°5＝3cos20°cos20°＝3.(2)原式＝sin12°cos12°cos24°cos48°cos96°sin12°＝12·sin24°cos24°cos48°cos96°sin12°＝14·sin48°cos48°cos96°sin12°＝18·sin96°cos96°sin12°＝116·sin192°sin12°＝116·－sin12°sin12°＝－116.5．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(2，2)，若a·b＝85，且π4xπ2，求sin2x1＋tanx1－tanx的值．解a·b＝2cosx＋2sinx＝222cosx＋22sinx＝2sinx＋π4.又a·b＝85，∴sinx＋π4＝45.又sinx＋π4＝cosπ2－x＋π4＝cosπ4－x＝cosx－π4，∴cosx－π4＝45.∵π4xπ2，∴π2x＋π43π4，0x－π4π4.∴cosx＋π4＝－35，sinx－π4＝35.∴1＋tanx1－tanx＝tanx＋π4＝－43.sin2x＝sinx－π4＋x＋π4＝sinx－π4cosx＋π4＋cosx－π4sinx＋π46＝35×－35＋45×45＝725.∴sin2x1＋tanx1－tanx＝725×－43＝－2875.