高中数学人教A版必修4模块综合检测一Word版含解析

模块综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．－1120°角所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D－1120°＝－360°×4＋320°，－1120°角所在象限与320°角所在象限相同．又320°角为第四象限角，故选D.2．(江西高考)若sinα2＝33，则cosα＝()A．－23B．－13C.13D.23解析：选C因为sinα2＝33，所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2×332＝13.3．(陕西高考)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2),若a∥b,则实数m等于()A．－2B.2C．－2或2D．0解析：选Ca∥b的充要条件的坐标表示为1×2－m2＝0，∴m＝±2，选C.4.1－sin20°＝()A．cos10°B．sin10°－cos10°C.2sin35°D．±(sin10°－cos10°)解析：选C∵1－sin20°＝1－cos70°＝2sin235°，∴1－sin20°＝2sin35°.5．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，则|a－b|＝()A．－10B．10C．－5D.5解析：选D因为a·b＝10，所以x＋8＝10，x＝2，所以a－b＝(－1，－2)，故|a－b|＝5.6．(2013·浙江高考)函数f(x)＝sinxcosx＋32·cos2x的最小正周期和振幅分别是()A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2解析：选A由f(x)＝sinxcosx＋32cos2x＝12sin2x＋32·cos2x＝sin2x＋π3，得最小正周期为π，振幅为1，故选A.7．已知α满足sinα＝12，那么sinπ4＋α·sinπ4－α的值为()A.14B．－14C.12D．－12解析：选A依题意得，sinπ4＋αsinπ4－α＝sinπ4＋α·cosπ4＋α＝12sinπ2＋2α＝12cos2α＝12(1－2sin2α)＝14.8．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选A由题意得3cos2×4π3＋φ＝3cos2π3＋φ＋2π＝3cos2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝kπ－π6，k∈Z.取k＝0，得|φ|的最小值为π6.9．已知向量a＝sinα＋π6，1，b＝(4,4cosα－3)，若a⊥b，则sinα＋4π3＝()A．－34B．－14C.34D.14解析：选Ba·b＝4sinα＋π6＋4cosα－3＝23sinα＋6cosα－3＝43sinα＋π3－3＝0，∴sinα＋π3＝14.∴sinα＋4π3＝－sinα＋π3＝－14，故选B.10．函数f(x)＝3cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则θ为()A．kπ，(k∈Z)B．kπ＋π6，(k∈Z)C．kπ＋π3，(k∈Z)D．－kπ－π3，(k∈Z)解析：选Df(x)＝3cos(3x－θ)－sin(3x－θ)＝2cos3x－θ＋π6.由函数为奇函数得－θ＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，解得θ＝－kπ－π3(k∈Z)，故选D.11．如图，已知正六边形P1P2P3P4­P5P6，下列向量的数量积中最大的是()A．12PP·13PPB．12PP·14PPC．12PP·15PPD．12PP·16PP解析：选A由于12PP⊥15PP，故其数量积是0，可排除C；12PP与16PP的夹角是2π3，故其数量积小于零，可排除D；设正六边形的边长是a，则12PP·13PP＝|12PP|·|13PP|·cos30°＝32a2，12PP·14PP＝|12PP|·|14PP|·cos60°＝a2.12．已知函数f(x)＝2asin2x－23asinxcosx＋a＋b(a0)的定义域是0，π2，值域为[－5,1]，则a、b的值分别为()A．a＝2，b＝－5B．a＝－2，b＝2C．a＝－2，b＝1D．a＝1，b＝－2解析：选Cf(x)＝－a(cos2x＋3sin2x)＋2a＋b＝－2asin2x＋π6＋2a＋b.又∵x∈0，π2，∴2x＋π6∈π6，7π6，∴－12≤sin2x＋π6≤1.∵－5≤f(x)≤1，a0，∴3a＋b＝－5，－2a＋2a＋b＝1，∴a＝－2，b＝1.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．cos－17π3＝________.解析：cos－17π3＝cos－6π＋π3＝cosπ3＝12.答案：1214．(四川高考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________.解析：AB＋AD＝AC＝2AO，故λ＝2.答案：215．(重庆高考)在OA为边，OB为对角线的矩形中，OA＝(－3,1)，OB＝(－2，k)，则实数k＝________.解析：因为AB＝OB－OA＝(1，k－1)，且OA⊥AB，所以OA·AB＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.答案：416．函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的图象如图所示，则y的表达式为________．解析：由图象，知A＝2，由T2＝2π3－π6，求出周期T＝π，ω＝2，然后可求得φ＝π6.答案：y＝2sin2x＋π6三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为120°.求：(1)|a＋b|及|a－b|；(2)向量a＋b与a－b的夹角．解：(1)a·b＝|a||b|cosθ＝2×2×cos120°＝－2，所以|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝22＋22＋2×(－2)＝4，所以|a＋b|＝2，同理可求得|a－b|＝23.(2)因为(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝22－22＝0，所以(a＋b)⊥(a－b)，所以a＋b与a－b的夹角为90°.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝asin(2ωx＋π6)＋a2＋b(x∈R，a0，ω0)的最小正周期为π，函数f(x)的最大值是74，最小值是34.(1)求ω、a、b的值；(2)指出f(x)的单调递增区间．解：(1)由函数最小正周期为π，得2π2ω＝π，∴ω＝1，又f(x)的最大值是74，最小值是34，则a＋a2＋b＝74，－a＋a2＋b＝34，解得a＝12，b＝1.(2)由(1)知，f(x)＝12sin(2x＋π6)＋54，当2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)时，f(x)单调递增，∴f(x)的单调递增区间为[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)．19．(本小题满分12分)(福建高考)已知函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)．(1)求f5π4的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：法一：(1)f5π4＝2cos5π4sin5π4＋cos5π4＝－2cosπ4－sinπ4－cosπ4＝2.(2)因为f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，所以T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.法二：f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π4＋1.(1)f5π4＝2sin11π4＋1＝2sinπ4＋1＝2.(2)T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.20．(本小题满分12分)已知向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值；(2)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求d.解：(1)∵(a＋kc)∥(2b－a)，且a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－1613.(2)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，∴4x－4－2y－1＝0，x－42＋y－12＝1，解得x＝4＋55，y＝1＋255或x＝4－55，y＝1－255.∴d＝20＋55，5＋255或d＝20－55，5－255.21．(本小题满分12分)如图所示，是一个半径为10个长度单位的水轮，水轮的圆心离水面52个长度单位．已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离d与时间t满足的函数关系是正弦曲线，其表达式为d－kb＝sin(t－ha)．(1)求正弦曲线的振幅和周期；(2)如果从P点在水中浮现时开始计算时间，写出其有关d与t的关系式；(3)在(2)的条件下，求P首次到达最高点所用的时间．解：(1)A＝r＝10.T＝604＝15(s)．(2)由d－kb＝sint－ha，得d＝bsint－ha＋k.b＝A＝10，T＝2π1a＝2πa＝15，∴a＝152π.由于圆心离水面52个长度单位，∴k＝52.∴d＝10sin2πt－h15＋52.将t＝0，d＝0代入上式，得sin(2π15h)＝22，2π15h＝π4，∴d＝10sin(2π15t－π4)＋52.(3)P到达最高点时d＝10＋52.∴sin(2π15t－π4)＝1，得2π15t－π4＝π2，t＝458(s)．即P首次到达最高点所用时间为458s.22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)·cosωx＋cos2ωx(ω0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，π16上的最小值．解：(1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx，所以f(x)＝sinωxcosωx＋1＋cos2ωx2＝12sin2ωx＋12cos2ωx＋12＝22sin2ωx＋π4＋12.由于ω0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝22sin2x＋π4＋12，所以g(x)＝f(2x)＝22sin4x＋π4＋12.当0≤x≤π16时，π4≤4x＋π4≤π2，所以22≤sin4x＋π4≤1.因此1≤g(x)≤1＋22.故g(x)在区间0，π16上的最小值为1.