高中数学人教A版必修4课时达标检测二十平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算Wor

课时达标检测（二十）平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算一、选择题1．已知向量OA＝(1，－2)，OB＝(－3,4)，则12AB等于()A．(－2,3)B．(2，－3)C．(2,3)D．(－2，－3)答案：A2．已知a＝(－5,6)，b＝(－3,2)，c＝(x，y)，若a－3b＋2c＝0，则c等于()A．(－2,6)B．(－4,0)C．(7,6)D．(－2,0)答案：D3．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，若ma＋nb＝(10,0)(m，n∈R)，则()A．m＝2，n＝4B．m＝3，n＝－2C．m＝4，n＝2D．m＝－4，n＝－2答案：C4．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝12ax与线段AB交于C，且AC＝2CB，则实数a等于()A．2B．1C.45D.53答案：A5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)答案：D二、填空题6．已知A(2,3)，B(1,4)，且12AB＝(sinα，cosβ)，α，β∈－π2，π2，则α＋β＝________.答案：π6或－π27．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底，将a分解成λ1e1＋λ2e2的形式为________．答案：a＝17e1＋47e28．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝22，且∠AOC＝π4.设OC＝λOA＋OB(λ∈R)，则λ＝________.答案：23三、解答题9．已知点A(－1,2)，B(2,8)及AC＝13AB，DA＝－13BA，求点C，D和CD的坐标．解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．由题意可得AC＝(x1＋1，y1－2)，AB＝(3,6)，DA＝(－1－x2,2－y2)，BA＝(－3，－6)．∵AC＝13AB，DA＝－13BA，∴(x1＋1，y1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)．则有x1＋1＝1，y1－2＝2，－1－x2＝1，2－y2＝2，解得x1＝0，y1＝4，x2＝－2，y2＝0.∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，因此CD＝(－2，－4)．10．已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)．(1)λ为何值时，点P在正比例函数y＝x的图象上？(2)设点P在第三象限，求λ的取值范围．解：设P点坐标为(x1，y1)，则AP＝(x1－2，y1－3)．AB＋λAC＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)，即AB＋λAC＝(3＋5λ，1＋7λ)，由AP＝AB＋λAC，可得(x1－2，y1－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，则x1－2＝3＋5λ，y1－3＝1＋7λ，解得x1＝5＋5λ，y1＝4＋7λ.∴P点的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)．(1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝12，∴当λ＝12时，P点在函数y＝x的图象上．(2)因为点P在第三象限，∴5＋5λ＜0，4＋7λ＜0，解得λ＜－1，∴λ的取值范围是{λ|λ＜－1}．11．已知向量u＝(x，y)与向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．(1)证明：对任意向量a，b及常数m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；(3)求使f(c)＝(p，q)(p，q是常数)的向量c的坐标．解：(1)证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，mf(a)＋nf(b)＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．(2)f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(3)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)，∴y＝p,2y－x＝q，∴x＝2p－q，即向量c＝(2p－q，p)．