高中数学人教A版必修4阶段质量检测二Word版含解析

阶段质量检测(二)(A卷学业水平达标)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．在五边形ABCDE中(如图)，AB＋BC－DC＝()A．ACB．ADC．BDD．BE答案：B2．(全国大纲卷)已知向量m＝(λ＋1,1),n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝()A．－4B．－3C．－2D．－1答案：B3．若|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是()A.π6B.π4C.π3D.π2答案：B4．在△ABC中，D为BC边的中点，已知AB＝a，AC＝b，则下列向量中与AD同向的是()A.a＋b|a＋b|B.a|a|＋b|b|C.a－b|a－b|D.a|a|－a|b|答案：A5．已知边长为1的正三角形ABC中，BC·CA＋CA·AB＋AB·BC的值为()A.12B．－12C.32D．－32答案：D6．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足OB＝13OA＋23OC，则|AB|∶|BC|＝()A．1∶3B．3∶1C．1∶2D．2∶1答案：D7．P是△ABC所在平面上一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则P是△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心答案：C8．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2C.2D.22答案：C9．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则MA·MD＝()A．1B．2C．3D．4答案：B10.如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA＋PB)·PC的最小值是()A.92B．9C．－92D．－9答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．在直角坐标系xOy中，AB＝(2,1)，AC＝(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，则k的值为________．答案：－6或－112．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则AE·BD＝________.答案：113．如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域(不含边界)内运动，且OP＝xOA＋yOB，则x的取值范围是______．当x＝－12时，y的取值范围是________．答案：(－∞，0)12，3214．在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的等价条件为存在唯一实数λ，使得OC＝λOA＋(1－λ)OB成立，此时称实数λ为“向量OC关于OA和OB的终点共线分解系数”．若已知P1(3,1)，P2(－1,3)，且向量3OP与向量a＝(1,1)垂直，则“向量3OP关于1OP和2OP的终点共线分解系数”为________．答案：－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2；当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝4＋16＝25.综上所述，|a－b|为2或25.16．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝13BC.(1)以a，b为基底表示向量AM与HF；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求AM·HF.解：(1)∵M为DC的中点，∴DM＝12DC，又DC＝AB，∴AM＝AD＋DM＝AD＋12AB＝12a＋b，∵H为AD的中点，BF＝13BC，BC＝AD，∴AH＝12AD，BF＝13AD，∴HF＝HA＋AB＋BF＝－12AD＋AB＋13AD＝AB－16AD＝a－16b.(2)由已知得a·b＝3×4×cos120°＝－6，AM·HF＝12a＋b·a－16b＝12a2＋1－112a·b－16b2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113.17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．解：(1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，则AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)．所以|AB＋AC|＝210，|AB－AC|＝42.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t,5＋t)．由(AB－tOC)·OC＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，即(3＋2t)×(－2)＋(5＋t)×(－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－115.18．(本小题满分14分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，AB＝2e1＋e2，BE＝－e1＋λe2，EC＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求BC的坐标；(3)已知D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．解：(1)AE＝AB＋BE＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得AE＝kEC，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，∴1＋2k＝0，λ＝k－1，解得k＝－12，λ＝－32.(2)BC＝BE＋EC＝－3e1－12e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(3)∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，∴AD＝BC.设A(x，y)，则AD＝(3－x,5－y)，∵BC＝(－7，－2)，∴3－x＝－7，5－y＝－2，解得x＝10，y＝7，即点A的坐标为(10,7)．(B卷能力素养提升)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．化简AC－BD＋CD－AB得()A．ABB．DAC．BCD．0解析：选DAC－BD＋CD－AB＝AC＋CD－(AB＋BD)＝AD－AD＝0.2．已知向量a与b的夹角为π3，|a|＝2，则a在b方向上的投影为()A.3B.2C.22D.32解析：选Ca在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝2cosπ3＝22.选C.3．向量BA＝(4，－3)，BC＝(2，－4)，则△ABC的形状为()A．等腰非直角三角形B．等边三角形C．直角非等腰三角形D．等腰直角三角形解析：选CAC＝BC－BA＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而AC·BC＝(－2，－1)·(2，－4)＝0，所以AC⊥BC，又|AC|≠|BC|，所以△ABC是直角非等腰三角形．故选C.4．若OF1＝(2,2)，OF2＝(－2,3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2|为()A．(0,5)B．25C．22D．5解析：选D∵F1＋F2＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝02＋52＝5.5．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．0解析：选D由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.6．(广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.14B.12C．1D．2解析：选C可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12.7．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于()A.3B．23C．4D．12解析：选B因为|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝2×1×cos60°＝1.∴|a＋2b|＝a2＋4×a·b＋4b2＝23.8．如图，非零向量OA＝a，|a|＝2，OB＝b，a·b＝1，且BC⊥OA，C为垂足，若OC＝λa，则λ为()A.12B.13C.14D．2解析：选C设a与b的夹角为θ.∵|OC|就是OB在OA上的投影|b|cosθ，∴|OC|＝|b|cosθ＝a·b|a|＝λ|a|，即λ＝a·b|a|2＝14，故选C.9．若e1，e2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：选De1·e2＝|e1||e2|cos60°＝12，a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－72，|a|＝2e1＋e22＝4＋4e1·e2＋1＝7，|b|＝－3e1＋2e22＝9－12e1·e2＋4＝7，所以a，b的夹角的余弦值为cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－727×7＝－12，所以〈a，b〉＝120°.故选D.10．在△ABC中，已知向量AB与AC满足AB|AB|＋AC|AC|·BC＝0且AB|AB|·AC|AC|＝12，则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形解析：选D非零向量AB与AC满足AB|AB|＋AC|AC|·BC＝0，即∠A的平分线垂直于BC，∴AB＝AC.又cosA＝AB|AB|·AC|AC|＝12，∴∠A＝π3，所以△ABC为等边三角形，选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．若向量AB＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·AC＝7，那么n·BC＝________.解析：n·BC＝n·(AC－AB)＝n·AC－n·AB＝7－5＝2.答案：212．已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝1，则a·b的取值范围为________．解析：∵a·b＝|a||b|cosθ＝2cosθ，又∵θ∈[0，π]，∴cosθ∈[－1,1]，即a·b∈[－2,2]．答案：[－2,2]13．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP·AC＝________.解析：设AC∩BD＝O，则AC＝2(AB＋BO)，AP·AC＝AP·2(AB＋BO)＝2AP·AB＋2AP·BO＝2AP·AB＝2AP·(AP＋PB)＝2|AP|2＝18.答案：1814．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°，其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)解析：①a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0，表明a与b－c向量垂直，不一定有b＝c，所以①不正确；对于②，当a∥b时，1×6＋2k＝0，则k＝－3，所以②正确；结合平行四边形法则知，若|a|＝|b|＝|a－b|，则|a|，|b|，|a－b|可构成一正三角形，那么a＋b与a的夹角为30°，而非60°，所以③错误．答案：②三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知OA＝a，OB＝b，对于任意点M关于A点的对称点为S，S点关于B点的对称点为N.(1)用a，b表示向量MN；(2)设|a|＝1，|b|＝2，|MN|∈[23，27]，求a与b的夹角θ的取值范围．解：(1)依题意，知A为MS的中点，B为NS的中点．∴SN＝2SB，SM＝2SA.∴MN＝SN－SM＝