高中数学人教A版必修五第一章解三角形学业分层测评1Word版含答案

学业分层测评（一）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为()A.3＋1B．23＋1C．26D．2＋23【解析】由已知及正弦定理，得4sin45°＝bsin60°，∴b＝4sin60°sin45°＝4×3222＝26.【答案】C2．在△ABC中，∠A＝60°，a＝43，b＝42，则∠B等于()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对【解析】∵sinB＝bsinAa＝42×3243＝22，∴∠B＝45°或135°.但当∠B＝135°时，不符合题意，所以∠B＝45°，故选C.【答案】C3．若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是()A．1∶2∶3B．1∶3∶2C．2∶3∶1D．3∶1∶2【解析】设三角形内角∠A、∠B、∠C分别为x,2x,3x，则x＋2x＋3x＝180°，∴x＝30°.由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，可知a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，∴a∶b∶c＝sin30°∶sin60°∶sin90°＝12∶32∶1＝1∶3∶2.【答案】B4．在△ABC中，若3b＝23asinB，cosA＝cosC，则△ABC形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解析】由正弦定理知b＝2R·sinB，a＝2R·sinA，则3b＝23a·sinB可化为：3sinB＝23sinA·sinB.∵0°∠B180°，∴sinB≠0，∴sinA＝32，∴∠A＝60°或120°，又cosA＝cosC，∴∠A＝∠C，∴∠A＝60°，∴△ABC为等边三角形．【答案】C二、填空题5．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．【解析】由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理bsinB＝csinC得b＝csinBsinC＝1×2232＝63.【答案】636．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sinB＝12，C＝π6，则b＝________.【解析】在△ABC中，∵sinB＝12，0Bπ，∴B＝π6或B＝56π.又∵B＋Cπ，C＝π6，∴B＝π6，∴A＝π－π6－π6＝23π.∵asinA＝bsinB，∴b＝asinBsinA＝1.【答案】17．在△ABC中，若3a＝2bsinA，则B＝________.【解析】由正弦定理得3sinA＝2sinB·sinA，∵sinA≠0，∴sinB＝32.又0B180°，∴B＝60°或120°.【答案】60°或120°三、解答题8．在△ABC中，已知acosA＝bcosB＝ccosC，试判断△ABC的形状.【导学号：05920059】【解】令asinA＝k，由正弦定理得a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.代入已知条件，得sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC，即tanA＝tanB＝tanC.又A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．9．在△ABC中，∠A＝60°，sinB＝12，a＝3，求三角形中其它边与角的大小．【解】由正弦定理得asinA＝bsinB，即b＝a·sinBsinA＝3×12sin60°＝3.由于∠A＝60°，则∠B120°，又sinB＝12，∴∠B＝30°，则∠C＝90°，则c＝asinCsinA＝23.[能力提升]1．(2014·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19B.13C．1D．72【解析】∵asinA＝bsinB，∴sinBsinA＝ba.∵3a＝2b，∴ba＝32.∴sinBsinA＝32.∴2sin2B－sin2Asin2A＝2sinBsinA2－1＝2×322－1＝92－1＝72.【答案】D2．在△ABC中，下列关系中一定成立的是()A．absinAB．a＝bsinAC．absinAD．a≥bsinA【解析】由正弦定理asinA＝bsinB，∴asinB＝bsinA，在△ABC中，0sinB≤1，故asinB≤a，∴a≥bsinA．故选D.【答案】D3．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，B＝π4，________，求角A.”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A＝π6.(试在横线上将条件补充完整)【解析】分两种情况：(1)若破损处的条件为边b的长度，则由asinA＝bsinB，得b＝asinBsinA＝3sinπ4sinπ6＝6；(2)若破损处的条件为边c的长度，由A＋B＋C＝π，B＝π4，A＝π6，知C＝7π12，再运用正弦定理，得c＝32＋62.【答案】b＝6或c＝32＋624．已知方程x2－bcosAx＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，∠A、∠B为a、b的对角，试判断△ABC的形状．【解】设方程的两根为x1，x2，由根与系数关系得x1＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB，由题意得bcosA＝acosB.由正弦定理得2RsinBcosA＝2RsinAcosB.∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.在△ABC中，0∠Aπ，0∠Bπ，－π∠A－∠Bπ.∴∠A－∠B＝0即∠A＝∠B，∴△ABC为等腰三角形.