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§1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)课时目标1.会用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象.2.明确函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ为常数,A0,ω0)中常数A、ω、φ的物理意义.理解振幅、频率、相位、初相的概念.3.了解函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的对称性(如对称轴,对称中心).1.简谐振动简谐振动y=Asin(ωx+φ)中,______叫做振幅,周期T=______,频率f=______,相位是______,初相是______.2.函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的性质如下:定义域R值域__________周期性T=____________奇偶性φ=______________时是奇函数;φ=____________________________时是偶函数;当φ≠kπ2(k∈Z)时是__________函数单调性单调增区间可由__________________________________________得到,单调减区间可由______________________________得到一、选择题1.函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)为偶函数的条件是()A.φ=π2+2kπ(k∈Z)B.φ=π2+kπ(k∈Z)C.φ=2kπ(k∈Z)D.φ=kπ(k∈Z)2.已知简谐运动f(x)=2sinπ3x+φ(|φ|π2)的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A.T=6,φ=π6B.T=6,φ=π3C.T=6π,φ=π6D.T=6π,φ=π33.下列函数中,图象的一部分如下图所示的是()A.y=sinx+π6B.y=sin2x-π6C.y=cos4x-π3D.y=cos2x-π64.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω0,|φ|π2)的部分图象如图所示,则()A.ω=1,φ=π6B.ω=1,φ=-π6C.ω=2,φ=π6D.ω=2,φ=-π65.函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω0,0≤φ2π)的部分图象如图所示,则()A.ω=π2,φ=π4B.ω=π3,φ=π6C.ω=π4,φ=π4D.ω=π4,φ=5π46.设函数f(x)=2sinπ2x+π5,若对于任意x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为()A.4B.2C.1D.12题号123456答案二、填空题7.函数y=12sin2x-π6与y轴最近的对称轴方程是__________.8.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω0,-π≤φπ)的图象如下图所示,则φ=________.9.函数y=sin2x的图象向右平移φ个单位(φ0)得到的图象恰好关于x=π6对称,则φ的最小值是________.10.关于f(x)=4sin2x+π3(x∈R),有下列命题①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2是π的整数倍;②y=f(x)的表达式可改写成y=4cos2x-π6;③y=f(x)图象关于-π6,0对称;④y=f(x)图象关于x=-π6对称.其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上).三、解答题11.已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)上的一个最高点的坐标为π8,2,此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点38π,0,若φ∈-π2,π2.(1)试求这条曲线的函数表达式;(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0,π]上的图象.12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M3π4,0对称,且在区间0,π2上是单调函数,求φ和ω的值.能力提升13.右图是函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间[-π6,5π6]上的图象.为了得到这个函数的图象,只要将y=sinx(x∈R)的图象上所有的点()A.向左平移π3个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变B.向左平移π3个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变C.向左平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变D.向左平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变14.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π8对称,那么a等于()A.2B.-2C.1D.-11.由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A,ω,φ的值.(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为T=2πω,所以往往通过求周期T来确定ω,可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T,即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.(3)从寻找“五点法”中的第一零点-φω,0(也叫初始点)作为突破口.以y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)为例,位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.2.在研究y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的性质时,注意采用整体代换的思想.如,它在ωx+φ=π2+2kπ(k∈Z)时取得最大值,在ωx+φ=3π2+2kπ(k∈Z)时取得最小值.§1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)答案知识梳理1.A2πωω2πωx+φφ2.[-A,A]2π|ω|kπ(k∈Z)π2+kπ(k∈Z)非奇非偶2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2(k∈Z)2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2(k∈Z)作业设计1.B2.A[T=2πω=2ππ3=6,代入(0,1)点得sinφ=12.∵-π2φπ2,∴φ=π6.]3.D[由图知T=4×π12+π6=π,∴ω=2πT=2.又x=π12时,y=1.]4.D[由图象知T4=7π12-π3=π4,∴T=π,ω=2.且2×7π12+φ=kπ+π(k∈Z),φ=kπ-π6(k∈Z).又|φ|π2,∴φ=-π6.]5.C[由ω×1+φ=π2ω×3+φ=π,解得ω=π4φ=π4.]6.B[对任意x∈R,f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立.∴f(x1)=f(x)min=-2,f(x2)=f(x)max=2.∴|x1-x2|min=T2=12×2ππ2=2.]7.x=-π6解析令2x-π6=kπ+π2(k∈Z),∴x=kπ2+π3(k∈Z).由k=0,得x=π3;由k=-1,得x=-π6.8.9π10解析由图象知函数y=sin(ωx+φ)的周期为22π-3π4=5π2,∴2πω=5π2,∴ω=45.∵当x=34π时,y有最小值-1,∴45×3π4+φ=2kπ-π2(k∈Z).∵-π≤φπ,∴φ=9π10.9.5π12解析y=sin2x向右平移φ个单位得f(x)=sin2(x-φ)=sin(2x-2φ).由fπ6=sinπ3-2φ=±1,∴π3-2φ=kπ+π2(k∈Z),∴2φ=-kπ-π6,令k=-1,得2φ=56π,∴φ=512π或作出y=sin2x的图象观察易知φ=π6--π4=512π.10.②③解析对于①,由f(x)=0,可得2x+π3=kπ(k∈Z).∴x=k2π-π6,∴x1-x2是π2的整数倍,∴①错;对于②,f(x)=4sin2x+π3利用公式得:f(x)=4cosπ2-2x+π3=4cos2x-π6.∴②对;对于③,f(x)=4sin2x+π3的对称中心满足2x+π3=kπ,∴x=k2π-π6,∴-π6,0是函数y=f(x)的一个对称中心.∴③对;对于④,函数y=f(x)的对称轴满足2x+π3=π2+kπ,∴x=π12+kπ2.∴④错.11.解(1)由题意知A=2,T=4×38π-π8=π,ω=2πT=2,∴y=2sin(2x+φ).又∵sinπ8×2+φ=1,∴π4+φ=2kπ+π2,k∈Z,∴φ=2kπ+π4,k∈Z,又∵φ∈-π2,π2,∴φ=π4.∴y=2sin2x+π4(2)列出x、y的对应值表:x-π8π838π58π78π2x+π40π2π32π2πy020-20描点,连线,如图所示:12.解∵f(x)在R上是偶函数,∴当x=0时,f(x)取得最大值或最小值.即sinφ=±1,得φ=kπ+π2,k∈Z,又0≤φ≤π,∴φ=π2.由图象关于M34π,0对称可知,sin34πω+π2=0,解得ω=43k-23,k∈Z.又f(x)在0,π2上单调函数,所以T≥π,即2πω≥π,∴ω≤2,又ω0,∴当k=1时,ω=23;当k=2时,ω=2.13.A[由图象可知A=1,T=5π6-(-π6)=π,∴ω=2πT=2.∵图象过点(π3,0),∴sin(2π3+φ)=0,∴2π3+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ=π3+2kπ,k∈Z.∴y=sin(2x+π3+2kπ)=sin(2x+π3).故将函数y=sinx先向左平移π3个单位长度后,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,可得原函数的图象.]14.D[方法一∵函数y=sin2x+acos2x的图象关于x=-π8对称,设f(x)=sin2x+acos2x,则f-π4=f(0)∴sin-π2+acos-π2=sin0+acos0.∴a=-1.方法二由题意得f-π8-x=f-π8+x,令x=π8,有f-π4=f(0),即-1=a.]
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