高中数学人教A版必修四课时训练22平面向量的线性运算223Word版含答案

2.2.3向量数乘运算及其几何意义课时目标1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件．1．向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝__________.(2)λa(a≠0)的方向当时，与a方向相同当时，与a方向相反；特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________.2．向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝________.(2)(λ＋μ)a＝____________.(3)λ(a＋b)＝____________.特别地，有(－λ)a＝____________＝________；λ(a－b)＝____________.3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________．4．向量的线性运算向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝__________________.一、选择题1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则()A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝122．已知向量a、b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．B、C、DB．A、B、CC．A、B、DD．A、C、D3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边上或其延长线上D．P在AC边上4．已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m的值为()A．2B．3C．4D．55．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且CD→＝4BD→＝rAB→＋sAC→，则r－s等于()A．0B.45C.83D．36．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC→2＝16，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，则|AM→|等于()A．8B．4C．2D．1题号123456答案二、填空题7．若2y－13a－12(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝_______.8．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且OC→＝xOA→＋yOB→，则x＋y＝________.9.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD→＝______.(填写正确的序号)①－BC→＋12BA→②－BC→－12BA→③BC→－12BA→④BC→＋12BA→10.如图所示，在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→＝______.(用a，b表示)三、解答题11．两个非零向量a、b不共线．(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．12.如图所示，在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→＝______.(用a，b表示)能力提升13．已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心14．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC→＝a，BD→＝b，则AF→等于()A.14a＋12bB.23a＋13bC.12a＋14bD.13a＋23b1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a|表示与向量a同向的单位向量．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．2．2.3向量数乘运算及其几何意义知识梳理1．向量数乘λa(1)|λ||a|(2)λ0λ0002．(1)(λμ)a(2)λa＋μa(3)λa＋λb－(λa)λ(－a)λa－λb3．b＝λa4．加减数乘λμ1a±λμ2b作业设计1．D[当k＝12时，m＝－e1＋12e2，n＝－2e1＋e2.∴n＝2m，此时，m，n共线．]2．C[∵BD→＝BC→＋CD→＝2a＋4b＝2AB→，∴A、B、D三点共线．]3．D[PA→＋PB→＋PC→＝PB→－PA→，∴PC→＝－2PA→，∴P在AC边上．]4．B[∵MA→＋MB→＋MC→＝0，∴点M是△ABC的重心．∴AB→＋AC→＝3AM→，∴m＝3.]5．C[∵CD→＝CB→＋BD→＝4BD→，∴CB→＝3BD→.∴CD→＝AD→－AC→＝AB→＋BD→－AC→＝AB→＋13CB→－AC→＝AB→＋13(AB→－AC→)－AC→＝43AB→－43AC→∴r＝43，s＝－43，r－s＝83.]6．C[∵BC→2＝16，∴|BC→|＝4.又|AB→－AC→|＝|CB→|＝4，∴|AB→＋AC→|＝4.∵M为BC中点，∴AM→＝12(AB→＋AC→)，∴|AM→|＝12|AB→＋AC→|＝2.]7.421a－17b＋17c8．1解析∵A，B，C三点共线，∴∃λ∈R使AC→＝λAB→.∴OC→－OA→＝λ(OB→－OA→)．∴OC→＝(1－λ)OA→＋λOB→.∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.9．①解析－BC→＋12BA→＝CB→＋12BA→＝CB→＋BD→＝CD→.10.14(b－a)解析MN→＝MB→＋BA→＋AN→＝－12b－a＋34AC→＝－12b－a＋34(a＋b)＝14(b－a)．11．(1)证明∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝a＋b＋2a＋8b＋3a－3b＝6a＋6b＝6AB→，∴A、B、D三点共线．(2)解∵ka＋b与2a＋kb共线，∴ka＋b＝λ(2a＋kb)．∴(k－2λ)a＋(1－λk)b＝0，∴k－2λ＝0，1－λk＝0⇒k＝±2.12．证明设BA→＝a，BC→＝b，则由向量加法的三角形法则可知：CM→＝BM→－BC→＝12BA→－BC→＝12a－b.又∵N在BD上且BD＝3BN，∴BN→＝13BD→＝13(BC→＋CD→)＝13(a＋b)，∴CN→＝BN→－BC→＝13(a＋b)－b＝13a－23b＝2312a－b，∴CN→＝23CM→，又∵CN→与CM→共点为C，∴C、M、N三点共线．13．B[AB→|AB→|为AB→上的单位向量，AC→|AC→|为AC→上的单位向量，则AB→|AB→|＋AC→|AC→|的方向为∠BAC的角平分线AD→的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λAB→|AB→|＋AC→|AC→|的方向与AB→|AB→|＋AC→|AC→|的方向相同．而OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，∴点P在AD→上移动．∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．]14．B[如图所示，∵E是OD的中点，∴OE→＝14BD→＝14b.又∵△ABE∽△FDE，∴AEEF＝BEDE＝31.∴AE→＝3EF→，∴AE→＝34AF→.在△AOE中，AE→＝AO→＋OE→＝12a＋14b.∴AF→＝43AE→＝23a＋13b.]