高中数学人教A版必修四课时训练24平面向量的数量积241Word版含答案

§2.4平面向量的数量积2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课时目标1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握向量数量积的运算律．1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量______________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为____．(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是____________，向量b在a方向上的投影是______________．2．数量积的几何意义a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________________的乘积．3．向量数量积的运算律(1)a·b＝________(交换律)；(2)(λa)·b＝________＝________(结合律)；(3)(a＋b)·c＝______________________(分配律)．一、选择题1．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于()A．－3B．－2C．2D．－12．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于()A.32B．－32C．±32D．13．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于()A．0B．22C．4D．84．在边长为1的等边△ABC中，设BC→＝a，CA→＝b，AB→＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于()A．－32B．0C.32D．35．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°6．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()A．2B．4C．6D．12题号123456答案二、填空题7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．8．给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________．9．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝________.10．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．三、解答题11．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．12．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π3，求|a＋b|，|a－b|.能力提升13．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．14．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．3．向量b在a上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分．§2.4平面向量的数量积2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义答案知识梳理1．(1)|a||b|cosθ(2)0(3)|a|cosθ|b|cosθ2．|b|cosθ3.(1)b·a(2)λ(a·b)a·(λb)(3)a·c＋b·c作业设计1．D[a在b方向上的投影是|a|cosθ＝2×cos120°＝－1.]2．A[∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.]3．B[|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝22.]4．A[a·b＝BC→·CA→＝－CB→·CA→＝－|CB→||CA→|cos60°＝－12.同理b·c＝－12，c·a＝－12，∴a·b＋b·c＋c·a＝－32.]5．C[由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，∴2|a||b|cosθ＋|b|2＝0.∴cosθ＝－|b|22|a||b|＝－|b|22|b|2＝－12，∴θ＝120°.]6．C[∵a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2|a|，∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72.∴|a|＝6.]7．0解析b·(2a＋b)＝2a·b＋|b|2＝2×4×4×cos120°＋42＝0.8．④解析因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；④正确，a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0.9．120°解析∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2.又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2.∴cos〈a，b〉＝－12，∴〈a，b〉＝120°.10．[0,1]解析b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cosθ－|b|2＝0，∴|b|＝|a|cosθ＝cosθ(θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，∴0≤|b|≤1.11．解(1)当a∥b时，若a与b同向，则a与b的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cosθ＝4×3×cos0°＝12.若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°，∴a·b＝|a||b|cos90°＝4×3×0＝0.(3)当a与b的夹角为60°时，∴a·b＝|a||b|cos60°＝4×3×12＝6.12．解a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×12＝252.|a＋b|＝a＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝25＋2×252＋25＝53.|a－b|＝a－b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝25－2×252＋25＝5.13．解(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2＝2×12＋1×1×cos120°－12＝12.|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×1×cos120°＋1＝1.∴|2a－b|cos〈2a－b，a＋b〉＝|2a－b|·2a－b·a＋b|2a－b|·|a＋b|＝2a－b·a＋b|a＋b|＝12.∴向量2a－b在向量a＋b方向上的投影为12.14．解∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，∴m·n＝|m||n|cos60°＝1×1×12＝12.|a|＝|2m＋n|＝2m＋n2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b|＝|2n－3m|＝2n－3m2＝4×1＋9×1－12m·n＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝12－6×1＋2×1＝－72.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝－727×7＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a与b的夹角为2π3.