高中数学人教A版必修四课时训练第二章平面向量章末检测AWord版含答案

第二章平面向量(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．与向量a＝(1，3)的夹角为30°的单位向量是()A．(12，32)或(1，3)B．(32，12)C．(0,1)D．(0,1)或(32，12)2．设向量a＝(1,0)，b＝(12，12)，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝22C．a－b与b垂直D．a∥b3．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(1,2)4．已知正方形ABCD的边长为1，AB→＝a，BC→＝b，AC→＝c，则a＋b＋c的模等于()A．0B．2＋2C.2D．225．若a与b满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b等于()A.12B.32C．1＋32D．26．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于()A．－12a＋32bB.12a－32bC.32a－12bD．－32a＋12b7．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．38．向量BA→＝(4，－3)，向量BC→＝(2，－4)，则△ABC的形状为()A．等腰非直角三角形B．等边三角形C．直角非等腰三角形D．等腰直角三角形9．设点A(1,2)、B(3,5)，将向量AB→按向量a＝(－1，－1)平移后得到A′B′→为()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,7)10．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是()A.103，＋∞B.103，＋∞C.－∞，103D.－∞，10311．在菱形ABCD中，若AC＝2，则CA→·AB→等于()A．2B．－2C．|AB→|cosAD．与菱形的边长有关12．如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是()A.P1P2→·P1P3→B.P1P2→·P1P4→C.P1P2→·P1P5→D.P1P2→·P1P6→题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.14．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.15．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________．16.如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA→＋PB→)·PC→的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)．(1)若|c|＝25，且c∥a，求c；(2)若|b|＝52，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a与b的夹角．18．(12分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，(1)c∥d；(2)c⊥d.19．(12分)已知|a|＝1，a·b＝12，(a－b)·(a＋b)＝12，求：(1)a与b的夹角；(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．20．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．21．(12分)已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.22．(12分)已知向量OP1→、OP2→、OP3→满足条件OP1→＋OP2→＋OP3→＝0，|OP1→|＝|OP2→|＝|OP3→|＝1.求证：△P1P2P3是正三角形．第二章平面向量(A)答案1．D2.C3．D[根据力的平衡原理有f1＋f2＋f3＋f4＝0，∴f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．]4．D[|a＋b＋c|＝|AB→＋BC→＋AC→|＝|2AC→|＝2|AC→|＝22.]5．B[由题意得a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos60°＝1＋12＝32，故选B.]6．B[令c＝λa＋μb，则λ＋μ＝－1λ－μ＝2，∴λ＝12μ＝－32，∴c＝12a－32b.]7．C[∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.]8．C[∵BA→＝(4，－3)，BC→＝(2，－4)，∴AC→＝BC→－BA→＝(－2，－1)，∴CA→·CB→＝(2,1)·(－2,4)＝0，∴∠C＝90°，且|CA→|＝5，|CB→|＝25，|CA→|≠|CB→|.∴△ABC是直角非等腰三角形．]9．B[∵AB→＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量AB→后得A′B′→，A′B′→＝AB→＝(2,3)．]10．A[a·b＝－3λ＋100，∴λ103.当a与b共线时，λ－3＝25，∴λ＝－65.此时，a与b同向，∴λ103.]11．B[如图，设对角线AC与BD交于点O，∴AB→＝AO→＋OB→.CA→·AB→＝CA→·(AO→＋OB→)＝－2＋0＝－2，故选B.]12．A[根据正六边形的几何性质．〈P1P2→，P1P3→〉＝π6，〈P1P2→，P1P4→〉＝π3，〈P1P2→，P1P5→〉＝π2，〈P1P2→，P1P6→〉＝2π3.∴P1P2→·P1P6→0，P1P2→·P1P5→＝0，P1P2→·P1P3→＝|P1P2→|·3|P1P2→|cosπ6＝32|P1P2→|2，P1P2→·P1P4→＝|P1P2→|·2|P1P2→|·cosπ3＝|P1P2→|2.比较可知A正确．]13．－1解析∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1.14．3解析a·b＝|a||b|cos30°＝2·3·cos30°＝3.15．6解析由(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2－12b2＝2k－12＝0，∴k＝6.16．－12解析因为点O是A，B的中点，所以PA→＋PB→＝2PO→，设|PC→|＝x，则|PO→|＝1－x(0≤x≤1)．所以(PA→＋PB→)·PC→＝2PO→·PC→＝－2x(1－x)＝2(x－12)2－12.∴当x＝12时，(PA→＋PB→)·PC→取到最小值－12.17．解(1)∵c∥a，∴设c＝λa，则c＝(λ，2λ)．又|c|＝25，∴λ＝±2，∴c＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵()a＋2b⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0.∵|a|＝5，|b|＝52，∴a·b＝－52.∴cosθ＝a·b|a||b|＝－1，∴θ＝180°.18．解由题意得a·b＝|a||b|cos60°＝2×3×12＝3.(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝95.(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，∴k＝－2914.19．解(1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝1－|b|2＝12，∴|b|2＝12，∴|b|＝22，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝121×22＝22.∴θ＝45°.(2)∵|a|＝1，|b|＝22，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×12＋12＝12.∴|a－b|＝22，又|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝52.∴|a＋b|＝102，设a－b与a＋b的夹角为α，则cosα＝a－b·a＋b|a－b|·|a＋b|＝1222×102＝55.即a－b与a＋b的夹角的余弦值为55.20．解(1)AB→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB→＋AC→|与|AB→－AC→|的大小．由AB→＋AC→＝(2,6)，得|AB→＋AC→|＝210，由AB→－AC→＝(4,4)，得|AB→－AC→|＝42.(2)OC→＝(－2，－1)，∵(AB→－tOC→)·OC→＝AB→·OC→－tOC→2，易求AB→·OC→＝－11，OC→2＝5，∴由(AB→－tOC→)·OC→＝0得t＝－115.21．证明如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．(1)BE→＝OE→－OB→＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，CF→＝OF→－OC→＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)，∵BE→·CF→＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，∴BE→⊥CF→，即BE⊥CF.(2)设P(x，y)，则FP→＝(x，y－1)，CF→＝(－2，－1)，∵FP→∥CF→，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.同理由BP→∥BE→，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.解得x＝65，∴y＝85，即P65，85.∴AP→2＝652＋852＝4＝AB→2，∴|AP→|＝|AB→|，即AP＝AB.22．证明∵OP1→＋OP2→＋OP3→＝0，∴OP1→＋OP2→＝－OP3→，∴(OP1→＋OP2→)2＝(－OP3→)2，∴|OP1→|2＋|OP2→|2＋2OP1→·OP2→＝|OP3→|2，∴OP1→·OP2→＝－12，cos∠P1OP2＝OP1→·OP2→|OP1→|·|OP2→|＝－12，∴∠P1OP2＝120°.同理，∠P1OP3＝∠P2OP3＝120°，即OP1→、OP2→、OP3→中任意两个向量的夹角为120°，故△P1P2P3是正三角形．