高中数学人教A版必修四课时训练第二章平面向量章末检测BWord版含答案

第二章平面向量(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是()A．－6B．6C．9D．122．下列命题正确的是()A．单位向量都相等B．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线C．若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0D．若a与b都是单位向量，则a·b＝1.3．设向量a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，若a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围是()A．(－43，2)B．(－∞，－43)∪(2，＋∞)C．(－2，43)D．(－∞，2)∪(43，＋∞)4．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则AD→·BD→等于()A．8B．6C．－8D．－65．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与向量b的夹角是()A.π6B.π4C.π3D.π26．关于平面向量a，b，c，有下列四个命题：①若a∥b，a≠0，则存在λ∈R，使得b＝λa；②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；③存在不全为零的实数λ，μ使得c＝λa＋μb；④若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)．其中正确的命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④7．已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，则向量a在向量b上的投影等于()A．－4B．4C．－125D.1258．设O，A，M，B为平面上四点，OM→＝λOB→＋(1－λ)·OA→，且λ∈(1,2)，则()A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，B，M四点共线9．P是△ABC内的一点，AP→＝13(AB→＋AC→)，则△ABC的面积与△ABP的面积之比为()A.32B．2C．3D．610．在△ABC中，AR→＝2RB→，CP→＝2PR→，若AP→＝mAB→＋nAC→，则m＋n等于()A.23B.79C.89D．111．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)等于()A．－45B．－35C．0D.3512．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是()A．若a与b共线，则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.14．a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.15．已知向量a＝(6,2)，b＝(－4，12)，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为________．16．已知向量OP→＝(2,1)，OA→＝(1,7)，OB→＝(5,1)，设M是直线OP上任意一点(O为坐标原点)，则MA→·MB→的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图所示，以向量OA→＝a，OB→＝b为边作▱AOBD，又BM→＝13BC→，CN→＝13CD→，用a，b表示OM→、ON→、MN→.18．(12分)已知a，b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)(a－2b)·(a＋b)；(2)|a＋b|；(3)|3a－4b|.19．(12分)已知a＝(3，－1)，b＝12，32，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求k＋t2t的最小值．20．(12分)设OA→＝(2,5)，OB→＝(3,1)，OC→＝(6,3)．在线段OC上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．22．(12分)已知线段PQ过△OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设OA→＝a，OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb.求证：1m＋1n＝3.第二章平面向量(B)答案1．B[∵a∥b，∴4×3－2x＝0，∴x＝6.]2．C[∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b|a－b|2＝a2＋b2－2a·b|a＋b|＝|a－b|.∴a·b＝0.]3．A[∵a与b的夹角大于90°，∴a·b0，∴(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)0，即3m2－2m－80，∴－43m2.]4．A[∵AD→＝BC→＝AC→－AB→＝(－1，－1)，∴BD→＝AD→－AB→＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)，∴AD→·BD→＝(－1，－1)·(－3，－5)＝8.]5．C[∵a(b－a)＝a·b－|a|2＝2，∴a·b＝3，∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝31×6＝12，∴〈a，b〉＝π3.]6．B[由向量共线定理知①正确；若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，所以②错误；在a，b能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，所以③错误；若a·b＝a·c，则a(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)，所以④正确，即正确命题序号是①④.]7．A[向量a在向量b上的投影为|a|cos〈a，b〉＝|a|·a·b|a||b|＝a·b|b|＝－123＝－4.]8．B[∵OM→＝λOB→＋(1－λ)OA→＝OA→＋λ(OB→－OA→)∴AM→＝λAB→，λ∈(1,2)，∴点B在线段AM上，故选B.]9．C[设△ABC边BC的中点为D，则S△ABCS△ABP＝2S△ABDS△ABP＝2ADAP.∵AP→＝13(AB→＋AC→)＝23AD→，∴AD→＝32AP→，∴|AD→|＝32|AP→|.∴S△ABCS△ABP＝3.]10．B[AP→＝AC→＋CP→＝AC→＋23CR→＝AC→＋23(23AB→－AC→)＝49AB→＋13AC→故有m＋n＝49＋13＝79.]11．B[由已知得4b＝－3a－5c，将等式两边平方得(4b)2＝(－3a－5c)2，化简得a·c＝－35.同理由5c＝－3a－4b两边平方得a·b＝0，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝－35.]12．B[若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确．由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．对于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．]13．2解析∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．∵向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.∴λ＝2.14．7解析∵|5a－b|2＝(5a－b)2＝25a2＋b2－10a·b＝25×12＋32－10×1×3×(－12)＝49.∴|5a－b|＝7.15．2x－3y－9＝0解析设P(x，y)是直线上任意一点，根据题意，有AP→·(a＋2b)＝(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0，整理化简得2x－3y－9＝0.16．－8解析设OM→＝tOP→＝(2t，t)，故有MA→·MB→＝(1－2t,7－t)·(5－2t,1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8，故当t＝2时，MA→·MB→取得最小值－8.17．解BA→＝OA→－OB→＝a－b.∴OM→＝OB→＋BM→＝OB→＋13BC→＝OB→＋16BA→＝16a＋56b.又OD→＝a＋b.ON→＝OC→＋CN→＝12OD→＋16OD→＝23OD→＝23a＋23b，∴MN→＝ON→－OM→＝23a＋23b－16a－56b＝12a－16b.18．解a·b＝|a||b|cos120°＝4×2×－12＝－4.(1)(a－2b)·(a＋b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12.(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12.∴|a＋b|＝23.(3)|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，∴|3a－4b|＝419.19．解由题意有|a|＝32＋－12＝2，|b|＝122＋322＝1.∵a·b＝3×12－1×32＝0，∴a⊥b.∵x·y＝0，∴[a＋(t2－3)b](－ka＋tb)＝0.化简得k＝t3－3t4.∴k＋t2t＝14(t2＋4t－3)＝14(t＋2)2－74.即t＝－2时，k＋t2t有最小值为－74.20．解设OM→＝tOC→，t∈[0,1]，则OM→＝(6t,3t)，即M(6t,3t).MA→＝OA→－OM→＝(2－6t,5－3t)，MB→＝OB→－OM→＝(3－6t,1－3t)．若MA⊥MB，则MA→·MB→＝(2－6t)(3－6t)＋(5－3t)(1－3t)＝0.即45t2－48t＋11＝0，t＝13或t＝1115.∴存在点M，M点的坐标为(2,1)或225，115.21．解由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2|·|e1＋te2|0，即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0.整理得：2te21＋(2t2＋7)e1·e2＋7te220.(*)∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°.∴e1·e2＝2×1×cos60°＝1∴(*)式化简得：2t2＋15t＋70.解得：－7t－12.当向量2te1＋7e2与e1＋te2夹角为180°时，设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ0)．对比系数得2t＝λ7＝λtλ0，∴λ＝－14t＝－142∴所求实数t的取值范围是－7，－142∪－142，－12.22.证明如右图所示，∵OD→＝12(OA→＋OB→)＝12(a＋b)，∴OG→＝23OD→＝13(a＋b)．∴PG→＝OG→－OP→＝13(a＋b)－ma＝(13－m)a＋13b.PQ→＝OQ→－OP→＝nb－ma.又P、G、Q三点共线，所以存在一个实数λ，使得PG→＝λPQ→.∴(13－m)a＋13b＝λnb－λma，∴(13－m＋λm)a＋(13－λn)b＝0.∵a与b不共线，∴13－m＋λm＝0，①13－λn＝0，②由①②消去λ得：1m＋1n＝3.