高中数学人教A版选修11学业分层测评12抛物线的简单几何性质Word版含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在【解析】由定义，知|AB|＝5＋2＝7，因为|AB|min＝4，所以这样的直线有且仅有两条．【答案】B2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()A．213B．215C．217D．219【解析】设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，|AB|＝5x1＋x22－4x1x2＝516－4＝215.故选B.【答案】B3．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8【解析】由y2＝x得2p＝1，即p＝12，因此焦点F14，0，准线方程为l：x＝－14，设A点到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d＝|AF|，从而x0＋14＝54x0，解得x0＝1，故选A.【答案】A4．已知抛物线y2＝2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在抛物线上，得y21＝2px1，①y22＝2px2，②由①－②，得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1＋y2＝4，直线AB的斜率为1，故2p＝4，p＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－p2＝－1.【答案】B5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA→·AF→＝－4，则点A的坐标为()【导学号：26160061】A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)【解析】设A(x，y)，则y2＝4x，①OA→＝(x，y)，AF→＝(1－x，－y)，OA→·AF→＝x－x2－y2＝－4，②由①②可解得x＝1，y＝±2.【答案】B二、填空题6．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．【解析】可判断直线y＝x＋4与抛物线y2＝4x相离，设y＝x＋m与抛物线y2＝4x相切，则由y＝x＋m，y2＝4x，消去x得y2－4y＋4m＝0.∴Δ＝16－16m＝0，m＝1.又y＝x＋4与y＝x＋1的距离d＝|4－1|2＝322，则所求的最小距离为322.【答案】3227．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y21的最小值是________．【解析】设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，∴y21＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，当m＝0时，y21＋y22最小为32.【答案】328．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝2512，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________.【解析】设过抛物线焦点的直线为y＝kx－12，联立得y2＝2x，y＝kx－12，整理得k2x2－(k2＋2)x＋14k2＝0，x1＋x2＝k2＋2k2，x1x2＝14.|AB|＝x1＋x2＋1＝k2＋2k2＋1＝2512，得k2＝24，代入k2x2－(k2＋2)x＋14k2＝0得12x2－13x＋3＝0，解之得x1＝13，x2＝34，又|AF|＜|BF|，故|AF|＝x1＋12＝56.【答案】56三、解答题9．求过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．【解】如图所示，若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x＝0，由x＝0，y2＝2x，得x＝0，y＝0，即直线x＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，则设直线为y＝kx＋1，代入y2＝2x得：k2x2＋(2k－2)x＋1＝0，当k＝0时，直线方程为y＝1，与抛物线只有一个交点．当k≠0时，Δ＝(2k－2)2－4k2＝0⇒k＝12.此时，直线方程为y＝12x＋1.可知，y＝1或y＝12x＋1为所求的直线方程．故所求的直线方程为x＝0或y＝1或y＝12x＋1.10．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．【解】由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，焦点Fp2，0，直线l：x＝p2，∴A，B两点坐标为p2，p，p2，－p，∴|AB|＝2|p|.∵△OAB的面积为4，∴12·p2·2|p|＝4，∴p＝±22.∴抛物线方程为y2＝±42x.[能力提升]1．(2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝()A.303B．6C．12D．73【解析】∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，∴F34，0，∴AB的方程为y－0＝tan30°x－34，即y＝33x－34.联立y2＝3x，y＝33x－34，得13x2－72x＋316＝0.∴x1＋x2＝－－7213＝212，即xA＋xB＝212.由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝212＋32＝12.【答案】C2．已知AB是抛物线y2＝2px(p0)上的两点，O为原点，若|OA→|＝|OB→|，且抛物线的焦点恰好为△AOB的垂心，则直线AB的方程是()A．x＝pB．x＝32pC．x＝52pD．x＝3p【解析】∵|OA→|＝|OB→|，∴A，B关于x轴对称．设A(x0，2px0)，B(x0，－2px0)．∵AF⊥OB，Fp2，0，∴2px0x0－p2·－2px0x0＝－1，∴x0＝52p.【答案】C3．(2014·湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．【解析】由题意知机器人行进轨迹为以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.设过点(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)．代入y2＝4x，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.∵机器人接触不到该直线，∴Δ＝(2k2－4)2－4k40，∴k21.∴k1或k－1.【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．已知直线l：y＝12x＋54，抛物线C：y2＝2px(p0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．(1)求抛物线C的方程；(2)设A，B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若OA→·OB→＝0(O为原点，A，B异于原点)，试求点N的轨迹方程.【导学号：26160062】【解】(1)直线l：y＝12x＋54.①过原点且垂直于l的直线方程为y＝－2x.②由①②，得x＝－12.∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，∴－p2＝－12×2，∴p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)．由OA→·OB→＝0，得x1x2＋y1y2＝0.又y21＝4x1，y22＝4x2，解得y1y2＝－16.③直线ON：y＝y2x2x，即y＝4y2x.④由③④及y＝y1，得点N的轨迹方程为x＝－4(y≠0)．