高中数学人教A版选修11学业分层测评13变化率问题导数的概念Word版含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝()A．－3B．2C．3D．－2【解析】根据平均变化率的定义，可知ΔyΔx＝2a＋b－a＋b2－1＝a＝3.故选C.【答案】C2．若函数f(x)＝－x2＋10的图象上一点32，314及邻近一点32＋Δx，314＋Δy，则ΔyΔx＝()A．3B．－3C．－3－(Δx)2D．－Δx－3【解析】∵Δy＝f32＋Δx－f32＝－3Δx－(Δx)2，∴ΔyΔx＝－3Δx－Δx2Δx＝－3－Δx.故选D.【答案】D3．若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为()A．6B．18C．54D．81【解析】因为ΔsΔt＝33＋Δt2－3×32Δt＝18Δt＋3Δt2Δt＝18＋3Δt，所以limΔt→0ΔsΔt＝18.【答案】B4.如图3－1－1，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()图3－1－1A．1B．－1C．2D．－2【解析】ΔyΔx＝f3－f13－1＝1－32＝－1.【答案】B5．已知函数f(x)＝13－8x＋2x2，且f′(x0)＝4，则x0的值为()A．0B．3C．32D．62【解析】f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[13－8x0＋Δx＋2x0＋Δx2]－13－8x0＋2x20Δx＝limΔx→0－8Δx＋22x0Δx＋2Δx2Δx＝limΔx→0(－8＋22x0＋2Δx)＝－8＋22x0＝4，所以x0＝32.【答案】C二、填空题6．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.【解析】ΔsΔt＝7t0＋Δt2＋8－7t20＋8Δt＝7Δt＋14t0，当limΔt→0(7Δt＋14t0)＝1时，t0＝114.【答案】1147．已知曲线y＝1x－1上两点A2，－12，B2＋Δx，－12＋Δy，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．【解析】Δy＝12＋Δx－1－12－1＝12＋Δx－12＝2－2＋Δx22＋Δx＝－Δx22＋Δx，∴ΔyΔx＝－Δx22＋ΔxΔx＝－122＋Δx，即k＝ΔyΔx＝－122＋Δx.∴当Δx＝1时，k＝－12×2＋1＝－16.【答案】－168．已知函数f(x)＝1x，则f′(2)＝________.【解析】limΔx→0f2＋Δx－f2Δx＝limΔx→0－Δx22＋ΔxΔx＝limΔx→0－122＋Δx＝－14.【答案】－14三、解答题9．求y＝x2＋1x＋5在x＝2处的导数．【解】∵Δy＝(2＋Δx)2＋12＋Δx＋5－22＋12＋5＝4Δx＋(Δx)2＋－Δx22＋Δx，∴ΔyΔx＝4＋Δx－14＋2Δx，∴y′|x＝2＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→04＋Δx－14＋2Δx＝4＋0－14＋2×0＝154.10．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围.【导学号：26160069】【解】因为函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为：ΔyΔx＝f2＋Δx－f2Δx＝－2＋Δx2＋2＋Δx－－4＋2Δx＝－4Δx＋Δx－Δx2Δx＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又因为Δx＞0，即Δx的取值范围是(0，＋∞)．[能力提升]1．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()A．k1k2B．k1k2C．k1＝k2D．不确定【解析】k1＝fx0＋Δx－fx0Δx＝x0＋Δx2－x20Δx＝2x0＋Δx，k2＝fx0－fx0－ΔxΔx＝x20－x0－Δx2Δx＝2x0－Δx.因为Δx可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小不确定．【答案】D2．设函数在x＝1处存在导数，则limΔx→0f1＋Δx－f13Δx＝()A．f′(1)B．3f′(1)C.13f′(1)D．f′(3)【解析】limΔx→0f1＋Δx－f13Δx＝13limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝13f′(1)．【答案】C3．如图3－1－2是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．图3－1－2【解析】由函数f(x)的图象知，f(x)＝x＋32，－1≤x≤1，x＋1，1x≤3.所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为：f2－f02－0＝3－322＝34.【答案】344．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2(s的单位是：m，t的单位是：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2s时的瞬时速度；(3)求t＝0s到t＝2s时的平均速度.【导学号：26160070】【解】(1)sΔt－s0Δt＝3Δt－Δt2Δt＝3－Δt.当Δt→0时，sΔt－s0Δt→3，所以v0＝3.(2)s2＋Δt－s2Δt＝32＋Δt－2＋Δt2－3×2－22Δt＝－Δt－1.当Δt→0时，s2＋Δt－s2Δt→－1，所以t＝2时的瞬时速度为－1.(3)v＝s2－s02＝6－4－02＝1.