高中数学人教A版选修11模块综合测评Word版含解析

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·北京高考)设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】设a＝1，b＝－2，则有ab，但a2b2，故abD⇒/a2b2；设a＝－2，b＝1，显然a2b2，但ab，即a2b2D⇒/ab.故“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件．【答案】D2．过点P(1，－3)的抛物线的标准方程为()A．x2＝13y或x2＝－13yB．x2＝13yC．y2＝－9x或x2＝13yD．x2＝－13y或y2＝9x【解析】P(1，－3)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下，设方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，代入P(1，－3)得y2＝9x或x2＝－13y.故选D.【答案】D3．(2016·南阳高二检测)下列命题中，正确命题的个数是()①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”；②“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件；③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；④对命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋10，则¬p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0.A．1B．2C．3D．4【解析】①正确；②由p∨q为真可知，p，q至少有一个是真命题即可，所以p∧q不一定是真命题；反之，p∧q是真命题，p，q均为真命题，所以p∨q一定是真命题，②不正确；③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个假命题，③不正确；④正确．【答案】B4．函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f(－1)与f(1)的大小关系为()A．f(－1)＝f(1)B．f(－1)f(1)C．f(－1)f(1)D．无法确定【解析】f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.∴f(x)＝x2＋2x·f′(1)＝x2－4x，f(1)＝－3，f(－1)＝5.∴f(－1)f(1)．【答案】C5．(2014·福建高考)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x00D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0【解析】故原命题的否定为：∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x00.故选C.【答案】C6．已知双曲线的离心率e＝2，且与椭圆x224＋y28＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±13xB．y＝±33xC．y＝±3xD．y＝±23x【解析】双曲线的焦点为F(±4,0)，e＝ca＝2，∴a＝2，b＝c2－a2＝23，∴渐近线方程为y＝±bax＝±3x.【答案】C7．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝()【导学号：26160107】A．1B.32C．2D．3【解析】因为双曲线的离心率e＝ca＝2，所以b＝3a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±3x，与抛物线的准线x＝－p2相交于A－p2，32p，B－p2，－32p，所以△AOB的面积为12×p2×3p＝3，又p＞0，所以p＝2.【答案】C8．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，过点P的切线的倾斜角的取值范围为()A．[0，π)B.0，π2∪3π4，πC.0，π2∪π2，3π4D.0，π4∪3π4，π【解析】f′(x)＝3x2－1≥－1，即切线的斜率k≥－1，所以切线的倾斜角的范围为0，π2∪3π4，π.【答案】B9．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B是它的两个焦点，其长轴长为2a，焦距为2c(a＞c＞0)，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是()A．2(a－c)B．2(a＋c)C．4aD．以上答案均有可能【解析】如图，本题应分三种情况讨论：当小球沿着x轴负方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)；当小球沿着x轴正方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a＋c)；当是其他情况时，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.【答案】D10．若函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k的取值范围是()A.－∞，13B.0，13C.0，13D.－∞，13【解析】f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x.由题意知3kx2＋6(k－1)x≤0，即kx＋2k－2≤0在(0,4)上恒成立，得k≤2x＋2，x∈(0,4)，又13＜2x＋2＜1，∴k≤13.【答案】D11．若直线y＝2x与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为()A．(1,5)B．(5，＋∞)C．(1,5]D．[5，＋∞)【解析】双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y＝bax.由条件知，应有ba2，故e＝ca＝a2＋b2a＝1＋ba25.【答案】B12．(2014·湖南高考)若0x1x21，则()A．ex2－ex1lnx2－lnx1B．ex2－ex1lnx2－lnx1C．x2ex1x1ex2D．x2ex1x1ex2【解析】设f(x)＝ex－lnx(0x1)，则f′(x)＝ex－1x＝xex－1x.令f′(x)＝0，得xex－1＝0.根据函数y＝ex与y＝1x的图象，可知两函数图象交点x0∈(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数，故A，B选项不正确．设g(x)＝exx(0x1)，则g′(x)＝exx－1x2.又0x1，∴g′(x)0.∴函数g(x)在(0,1)上是减函数．又0x1x21，∴g(x1)g(x2)，∴x2ex1x1ex2.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．【解析】a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c23.【答案】若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2314．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________________.【导学号：26160108】【解析】y′＝ex＋xex＋2，k＝y′|x＝0＝e0＋0＋2＝3，所以切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0.【答案】3x－y＋1＝015.如图1为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式xf′(x)＜0的解集为________________．图1【解析】当x＜0时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数，由图象可知x∈(－∞，－3)；当x＞0时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数，由图象可知x∈(0,2)．∴xf′(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,2)．【答案】(－∞，－3)∪(0,2)16．若O和F分别是椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为________．【解析】由椭圆x24＋y23＝1可得点F(－1,0)，点O(0，0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则OP→·FP→＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋31－x24＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，OP→·FP→取得最大值6.【答案】6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设命题p：方程x21－2m＋y2m＋4＝1表示的曲线是双曲线；命题q：∃x∈R,3x2＋2mx＋m＋60.若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．【解】对于命题p，因为方程x21－2m＋y2m＋4＝1表示的曲线是双曲线，所以(1－2m)(m＋4)0，解得m－4或m12，则命题p：m－4或m12.对于命题q，因为∃x∈R,3x2＋2mx＋m＋60，即不等式3x2＋2mx＋m＋60在实数集R上有解，所以Δ＝(2m)2－4×3×(m＋6)0，解得m－3或m6.则命题q：m－3或m6.因为命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以命题p与命题q有且只有一个为真命题．若命题p为真命题且命题q为假命题，即m－4或m12，－3≤m≤6，得12m≤6；若命题p为假命题且命题q为真命题，即－4≤m≤12，m－3或m6，得－4≤m－3.综上，实数m的取值范围为[－4，－3)∪12，6.18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数．(1)求b，c的值；(2)求g(x)的单调区间与极值．【解】(1)∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.从而g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c∵g(x)是奇函数，∴－x3＋(b－3)x2－(c－2b)x－c＝－[x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c]得(b－3)x2－c＝0对x∈R都成立．∴b－3＝0，c＝0，得b＝3，c＝0.(2)由(1)知g(x)＝x3－6x，从而g′(x)＝3x2－6，由此可知，(－∞，－2)和(2，＋∞)是函数g(x)的单调递增区间；(－2，2)是函数g(x)的单调递减区间．g(x)在x＝－2时，取得极大值，极大值为42，g(x)在x＝2时，取得极小值，极小值为－42.19．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋b所得的弦长为|AB|＝35.(1)求b的值；【导学号：26160109】(2)在x轴上求一点P，使△APB的面积为39.【解】(1)联立方程组y2＝4x，y＝2x＋b，消去y，得方程：4x2＋(4b－4)x＋b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝1－b，x1x2＝b24，|AB|＝5x1＋x22－4x1x2＝51－b2－b2＝35，解得b＝－4.(2)将b＝－4代入直线y＝2x＋b，得AB所在的直线方程为2x－y－4＝0，设P(a,0)，则P到直线AB的距离为d＝|2a－4|5.△APB的面积S＝12×|2a－4|5×35＝39，则a＝－11或15，所以P点的坐标为(－11,0)或(15,0)．20．(本小题满分12分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？【解】(1)设商品降低x元时，多卖出的商品件数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)＝(21－x)·(432＋kx2)，又由已知条件24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－