高中数学人教A版选修11第三章导数及其应用学业分层测评17Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)的极值情况是()A．极大值为5，极小值为－27B．极大值为5，极小值为－11C．极大值为5，无极小值D．极小值为－27，无极大值【解析】y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令y′＝0，得x＝－1或x＝3.当－2＜x＜－1时，y′＞0；当－1＜x＜2时，y′＜0.所以当x＝－1时，函数有极大值，且极大值为5；无极小值．【答案】C2．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A．(2,3)B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，3)【解析】因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．【答案】B3．设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点【解析】∵f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．∴当f′(x)≥0时，即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，∴x≥－1时，函数f(x)为增函数．同理可求，x－1时，函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．【答案】D4．(2016·邢台期末)函数f(x)＝13ax3＋ax2＋x＋3有极值的充要条件是()A．a＞1或a≤0B．a＞1C．0＜a＜1D．a＞1或a＜0【解析】f(x)有极值的充要条件是f′(x)＝ax2＋2ax＋1＝0有两个不相等的实根，即4a2－4a＞0，解得a＜0或a＞1.故选D.【答案】D5．已知a∈R，且函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则()A．a－1B．a－1C．a－1eD．a－1e【解析】因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.令y′＝0，即ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，又因为x0，所以－a1，即a－1.【答案】A二、填空题6．(2016·临沂高二检测)若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于__________．【解析】y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或4.且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′0；x∈(0,4)时，y′0.∴x＝4时函数取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.【答案】－197．函数f(x)＝alnx＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________.【导学号：26160089】【解析】f′(x)＝ax＋2bx＋3＝2bx2＋3x＋ax，∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝2bx2＋3x＋ax＝0的两根，也即2bx2＋3x＋a＝0的两根．∴由根与系数的关系知－32b＝1＋2，a2b＝1×2，解得a＝－2，b＝－12.【答案】－2－128．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数f′(x)的图象如图3－3－7所示，则函数的极小值是________．图3－3－7【解析】由图象可知，当x0时，f′(x)0，当0x2时，f′(x)0，故x＝0时，函数f(x)取到极小值f(0)＝c.【答案】c三、解答题9．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．【解】由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)2(1－ln2＋a)故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)．所以f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．10.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图3－3－8所示，且与y＝0在原点相切，若函数的极小值为－4，求a，b，c的值．图3－3－8【解】∵函数的图象经过(0,0)点，∴c＝0.又图象与x轴相切于(0,0)点，且f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∴f′(0)＝0，即0＝3×02＋2a×0＋b，得b＝0.∴f(x)＝x3＋ax2.令f(x)＝x3＋ax2＝0，得x＝0或x＝－a，由图象知a0.令f′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)＝0，∴当0x－23a时，f′(x)0；当x－23a时，f′(x)0.∴当x＝－23a时，函数有极小值－4.即－23a3＋a－23a2＝－4，解得a＝－3.∴a＝－3，b＝0，c＝0.[能力提升]1．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点【解析】不妨取函数为f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3(x－1)(x＋1)，易判断x0＝－1为f(x)的极大值点，但显然f(x0)不是最大值，故排除A；因为f(－x)＝－x3＋3x，f′(－x)＝－3(x＋1)(x－1)，易知－x0＝1为f(－x)的极大值点，故排除B；又－f(x)＝－x3＋3x，[－f(x)]′＝－3(x＋1)(x－1)，易知－x0＝1为－f(x)的极大值点，故排除C；∵－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，由函数图象的对称性，可得－x0应为函数－f(－x)的极小值点．故D正确．【答案】D2．如图3－3－9所示是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x21＋x22等于()图3－3－9A.23B.43C.83D.123【解析】函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d＝0，b＋c＋1＝0,4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－43＝83.【答案】C3．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则极大值与极小值之差为________.【导学号：26160090】【解析】∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，∴3×22＋6a×2＋3b＝0，3×12＋6a×1＋3b＝－3⇒a＝－1，b＝0.∴f′(x)＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2，∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.【答案】44．若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．【解】f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，可知f(x)在(－1,1)上是减函数，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k＜0或－4＋k＞0(如图所示)，即k＜－4或k＞4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．