高中数学人教A版选修11第二章圆锥曲线与方程学业分层测评8Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．点A(a,1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是()A．－2＜a＜2B．a＜－2或a＞2C．－2＜a＜2D．－1＜a＜1【解析】∵点A(a,1)在椭圆x24＋y22＝1内部，∴a24＋12＜1.∴a24＜12.则a2＜2，∴－2＜a＜2.【答案】A2．已知直线y＝kx＋1和椭圆x2＋2y2＝1有公共点，则k的取值范围是()A．k＜－22或k＞22B．－22＜k＜22C．k≤－22或k≥22D．－22≤k≤22【解析】由y＝kx＋1，x2＋2y2＝1，得(2k2＋1)x2＋4kx＋1＝0.∵直线与椭圆有公共点．∴Δ＝16k2－4(2k2＋1)≥0，则k≥22或k≤－22.【答案】C3．(2016·重庆高二检测)过椭圆x24＋y23＝1的一个焦点F作垂直于长轴的弦，则此弦长为()A.34B．3C．23D.833【解析】因为F(±1,0)，所以过椭圆的焦点F且垂直于长轴的弦与椭圆的交点坐标为±1，±32，所以弦长为3.【答案】B4．直线y＝x＋1被椭圆x24＋y22＝1所截得线段的中点的坐标是()A.23，53B.43，73C.－23，13D.－132，－172【解析】联立方程y＝x＋1，x24＋y22＝1，消去y，得3x2＋4x－2＝0.设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)．∴x1＋x2＝－43，x0＝x1＋x22＝－23，y0＝x0＋1＝13，∴中点坐标为－23，13.【答案】C5．经过椭圆x22＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点，O为坐标原点，则OA→·OB→＝()【导学号：26160041】A．－3B．－13C．－13或－3D．±13【解析】椭圆右焦点为(1,0)，设l：y＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝x－1代入x22＋y2＝1，得3x2－4x＝0.∴A(0，－1)，B43，13，∴OA→·OB→＝－13.【答案】B二、填空题6．直线l过定点A(－3,0)，则过点A的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为________．【解析】∵A(－3,0)为椭圆长轴一个顶点，∴当过点A作椭圆切线时，直线与椭圆有一个公共点(即切点)；当过点A作与椭圆相交的直线时，二者有两个交点，故填1或2.【答案】1或27．已知动点P(x，y)在椭圆x225＋y216＝1上，若A点坐标为(3,0)，|AM→|＝1，且PM→·AM→＝0，则|PM→|的最小值是________．【解析】易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵PM→·AM→＝0，∴AM→⊥PM→.∴|PM→|2＝|AP→|2－|AM→|2＝|AP→|2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|AP→|min＝2，∴|PM→|min＝3.【答案】38．过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．【解析】由题意知，右焦点坐标为(1,0)，直线的方程为y＝2(x－1)，将其与x25＋y24＝1联立，消去y，得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝53，x1x2＝0，所以|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋22·532－4×0＝553.设原点到直线的距离为d，则d＝|2|12＋22＝25.所以S△OAB＝12|AB|·d＝12×553×25＝53.【答案】53三、解答题9．已知椭圆x24＋y23＝1，直线l：y＝4x＋12，若椭圆上存在两点P、Q关于直线l对称，求直线PQ的方程．【解】法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则kPQ＝－14.设PQ所在直线方程为y＝－x4＋b.由y＝－x4＋b，x24＋y23＝1，消去y，得13x2－8bx＋16b2－48＝0.∴Δ＝(－8b)2－4×13×(16b2－48)＞0.解得b2＜134，x1＋x2＝8b13，设PQ中点为M(x0，y0)，则有x0＝x1＋x22＝4b13，y0＝－14·4b13＋b＝12b13.∵点M4b13，12b13在直线y＝4x＋12上，∴12b13＝4·4b13＋12，∴b＝－138.直线PQ的方程为y＝－14x－138，即2x＋8y＋13＝0.法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)是PQ的中点．则有3x21＋4y21＝12，3x22＋4y22＝12，两式相减，得3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0.∵x1≠x2，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，∴3x04y0＝－y1－y2x1－x2＝－kPQ.∵kPQ＝－14，∴y0＝3x0.代入直线y＝4x＋12，得x0＝－12，y0＝－32，则直线PQ的方程为y＋32＝－14x＋12，即2x＋8y＋13＝0.10．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值．【解】(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝43.(2)直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝1－b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组y＝x＋c，x2＋y2b2＝1，化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.则由根与系数的关系，得x1＋x2＝－2c1＋b2，x1x2＝1－2b21＋b2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x1－x2|，即43＝2|x1－x2|.所以(x1＋x2)2－4x1x2＝89，即41－b21＋b22－41－2b21＋b2＝8b41＋b22＝89，解得b2＝12或b2＝－14(舍去)，又b＞0，∴b＝22.[能力提升]1．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，A(－a,0)，B(0，b)为椭圆的两个顶点，若点F到AB的距离为b7，则椭圆的离心率为()A.7－77B.7－277C.12D.45【解析】直线AB的方程是x－a＋yb＝1，即bx－ay＋ab＝0.因为点F的坐标为(－c,0)，所以|－bc＋ab|a2＋b2＝b7，化简，得8c2－14ac＋5a2＝0，两端同除以a2，得8e2－14e＋5＝0，解得e＝12e＝54舍去.【答案】C2．已知椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若FA→＝3FB→，则|AF→|＝()A.2B．2C.3D．3【解析】设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：x22＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1,0)．由FA→＝3FB→，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝43，y0＝13n.将x0，y0代入x22＋y2＝1，得12×432＋13n2＝1.解得n2＝1，∴|AF→|＝2－12＋n2＝1＋1＝2.【答案】A3．若直线y＝kx＋1与曲线x＝1－4y2有两个不同的交点，则k的取值范围是________．【解析】由x＝1－4y2，得x2＋4y2＝1(x≥0)，又∵直线y＝kx＋1过定点(0,1)，故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在y轴右侧的部分有两个公共点，当直线与椭圆(右侧部分)相切时，k＝－32，则相交时k＜－32.【答案】－∞，－324．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，AF→＝2FB→.(1)求椭圆C的离心率；【导学号：26160042】(2)如果|AB|＝154，求椭圆C的标准方程．【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y10，y20.(1)直线l的方程为y＝3(x－c)，其中c＝a2－b2.联立，得y＝3x－c，x2a2＋y2b2＝1，消去x，得(3a2＋b2)y2＋23b2cy－3b4＝0.解得y1＝－3b2c＋2a3a2＋b2，y2＝－3b2c－2a3a2＋b2因为AF→＝2FB→，所以－y1＝2y2，即3b2c＋2a3a2＋b2＝2·－3b2c－2a3a2＋b2，得离心率e＝ca＝23.(2)因为|AB|＝1＋13|y2－y1|，所以23·43ab23a2＋b2＝154.由ca＝23，得b＝53a，所以54a＝154，所以a＝3，b＝5.所以椭圆C的标准方程为x29＋y25＝1.