高中数学人教A版选修11第二章圆锥曲线与方程学业分层测评9Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是()A．17B．7C．7或17D．2或22【解析】由双曲线方程x225－y29＝1得a＝5，∴||PF1|－|PF2||＝2×5＝10.又∵|PF1|＝12，∴|PF2|＝2或22.故选D.【答案】D2．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1B.x23－y2＝1C．y2－x23＝1D.x22－y22＝1【解析】由双曲线定义知，2a＝2＋22＋32－2－22＋32＝5－3＝2，∴a＝1.又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.【答案】A3．设动点M到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()A.x29－y216＝1B.y29－x216＝1C.x29－y216＝1(x＜0)D.x29－y216＝1(x＞0)【解析】由双曲线的定义得，P点的轨迹是双曲线的一支．由已知得2c＝10，2a＝6，∴a＝3，c＝5，b＝4.故P点的轨迹方程为x29－y216＝1(x＞0)，因此选D.【答案】D4．已知双曲线x26－y23＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为()A.365B.566C.65D.56【解析】不妨设点F1(－3,0)，容易计算得出|MF1|＝32＝62，|MF2|－|MF1|＝26.解得|MF2|＝526.而|F1F2|＝6，在直角三角形MF1F2中，由12|MF1|·|F1F2|＝12|MF2|·d，求得F1到直线F2M的距离d为65.故选C.【答案】C5．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a－y22＝1有相同的焦点，则a的值是()A.12B．1或－2C．1或12D．1【解析】由于a＞0,0＜a2＜4，且4－a2＝a＋2，所以可解得a＝1，故选D.【答案】D二、填空题6．经过点P(－3,27)和Q(－62，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________.【导学号：26160046】【解析】设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn0)，则9m＋28n＝1，72m＋49n＝1，解得m＝－175，n＝125，故双曲线的标准方程为y225－x275＝1.【答案】y225－x275＝17．已知方程x24－t＋y2t－1＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断：①当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆；②当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线；③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜52；④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4.其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．【解析】①错误，当t＝52时，曲线C表示圆；②正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)＜0，∴t＜1或t＞4；③正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t－1＞0.∴1＜t＜52；④正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则4－t＜0t－1＞0，∴t＞4.【答案】②③④8．已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．【解析】设右焦点为F′，依题意，|PF|＝|PF′|＋4，∴|PF|＋|PA|＝|PF′|＋4＋|PA|＝|PF′|＋|PA|＋4≥|AF′|＋4＝5＋4＝9.【答案】9三、解答题9．求以椭圆x216＋y29＝1短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．【解】由x216＋y29＝1，得a＝4，b＝3，所以短轴两端点的坐标为(0，±3)，又双曲线过A点，由双曲线定义得2a＝|4－02＋－5－32－4－02＋－5＋32|＝25，∴a＝5，又c＝3，从而b2＝c2－a2＝4，又焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为y25－x24＝1.10．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sinB－sinA＝12sinC.(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程．【解】(1)将椭圆方程化为标准形式为x25＋y2＝1.∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.(2)∵sinB－sinA＝12sinC，∴由正弦定理得|CA|－|CB|＝12|AB|＝2|AB|＝4，即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，∴所求的点C的轨迹方程为x2－y23＝1(x1)．[能力提升]1．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1||PF2|＝()A．2B．4C．6D．8【解析】由题意，得||PF1|－|PF2||＝2，|F1F2|＝22.因为∠F1PF2＝60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2，所以(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|×12＝8，所以|PF1|·|PF2|＝8－22＝4.【答案】B2．(2016·临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F1(－10，0)，F2(10，0)，M是此双曲线上的一点，且MF1→·MF2→＝0，|MF1→|·|MF2→|＝2，则该双曲线的方程是()A.x29－y2＝1B．x2－y29＝1C.x23－y27＝1D.x27－y23＝1【解析】由双曲线定义||MF1|－|MF2||＝2a，两边平方得：|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|＝4a2，因为MF1→·MF2→＝0，故△MF1F2为直角三角形，有|MF1|2＋|MF2|2＝(2c)2＝40，而|MF1→|·|MF2→|＝2，∴40－2×2＝4a2，∴a2＝9，∴b2＝1，所以双曲线的方程为x29－y2＝1.【答案】A3．若F1，F2是双曲线8x2－y2＝8的两焦点，点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，则△PF1F2的周长为________．【解析】双曲线8x2－y2＝8可化为标准方程x2－y28＝1，所以a＝1，c＝3，|F1F2|＝2c＝6.因为点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，所以|PF1|＝|F1F2|＝6，或|PF2|＝|F1F2|＝6，当|PF1|＝6时，根据双曲线的定义有|PF2|＝|PF1|－2a＝6－2＝4，所以△PF1F2的周长为6＋6＋4＝16；同理当|PF2|＝6时，△PF1F2的周长为6＋6＋8＝20.【答案】16或204.如图2－2－2，已知双曲线中c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P是双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△F1PF2＝123.求双曲线的标准方程．【导学号：26160047】图2－2－2【解】由题意可知双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1.由于||PF1|－|PF2||＝2a，在△F1PF2中，由余弦定理得cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝|PF1|－|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|－|F1F2|22|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2，所以S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝2b2·32＝3b2，从而有3b2＝123，所以b2＝12，c＝2a，结合c2＝a2＋b2，得a2＝4.所以双曲线的标准方程为x24－y212＝1.