高中数学人教A版选修12章末综合测评2Word版含解析

章末综合测评(二)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28B．32C．33D．27【解析】观察知数列{an}满足：a1＝2，an＋1－an＝3n，故x＝20＋3×4＝32.【答案】B2．(2016·汕头高二检测)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点．以上推理中()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【解析】大前提是错误的，若f′(x0)＝0，x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，故选A.【答案】A3．下列推理过程是类比推理的是()A．人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为12B．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C．通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性D．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数【解析】A为归纳推理，C，D均为演绎推理，B为类比推理．【答案】B4．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③由f(x)＝sinx，满足f(－x)＝－f(x)，x∈R，推出f(x)＝sinx是奇函数；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③④C．①②④D．②④【解析】合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理．【答案】C5．设a＝21.5＋22.5，b＝7，则a，b的大小关系是()A．abB．a＝bC．abD．a2(b＋1)【解析】因为a＝21.5＋22.5221.5·22.5＝87，故ab.【答案】A6．将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④|a·b|＝|a||b|；⑤由a·b＝a·c(a≠0)，可得b＝c.以上通过类比得到的结论中，正确的个数是()A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】①③正确；②④⑤错误．【答案】A7．证明命题：“f(x)＝ex＋1ex在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f(x)＝ex＋1ex，所以f′(x)＝ex－1ex.因为x0，所以ex1,01ex1.所以ex－1ex0，即f′(x)0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是()A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是【解析】从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法．【答案】A8．已知c1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是()【导学号：19220032】A．abB．abC．a＝bD．a，b大小不定【解析】要比较a与b的大小，由于c1，所以a0，b0，故只需比较1a与1b的大小即可，而1a＝1c＋1－c＝c＋1＋c，1b＝1c－c－1＝c＋c－1，显然1a1b，从而必有ab，故选B.【答案】B9．设n为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，经计算得f(2)＝32，f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72，观察上述结果，可推测出一般结论()A．f(2n)2n＋12B．f(n2)≥n＋22C．f(2n)≥n＋22D．以上都不对【解析】f(2)＝32，f(4)＝f(22)2＋22，f(8)＝f(23)3＋22，f(16)＝f(24)4＋22，f(32)＝f(25)5＋22.由此可推知f(2n)≥n＋22.故选C.【答案】C10．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图1中的(1)(2)(3)(4)，则图中a，b对应的运算是()图1A．B*D，A*DB．B*D，A*CC．B*C，A*DD．C*D，A*D【解析】根据(1)(2)(3)(4)可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应椭圆．由此可知选B.【答案】B11．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.【答案】C12．在等差数列{an}中，若an0，公差d0，则有a4·a6a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn0，公比q1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A．b4＋b8b5＋b7B．b4＋b8b5＋b7C．b4＋b7b5＋b8D．b4＋b7b5＋b8【解析】在等差数列{an}中，由于4＋6＝3＋7时，有a4·a6a3·a7，所以在等比数列{bn}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8b5＋b7或b4＋b8b5＋b7.因为b4＝b1q3，b5＝b1q4，b7＝b1q6，b8＝b1q7，所以(b4＋b8)－(b5＋b7)＝(b1q3＋b1q7)－(b1q4＋b1q6)＝b1q6·(q－1)－b1q3(q－1)＝(b1q6－b1q3)(q－1)＝b1q3(q3－1)(q－1)．因为q1，bn0，所以b4＋b8b5＋b7.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)13．已知x，y∈R，且x＋y2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时假设应为________．【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故假设应为“x，y均不大于1”(或x≤1且y≤1)．【答案】x，y均不大于1(或x≤1且y≤1)14．如图2，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n2)个图形中共有________个顶点．图2【解析】设第n个图形中有an个顶点，则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，an＝(n＋2)＋(n＋2)·(n＋2)，an－2＝n2＋n.【答案】n2＋n15．设a0，b0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab)________12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．【解析】因为(1＋ab)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2ab＋ab－1－a－b－ab＝2ab－(a＋b)＝－(a－b)2≤0，所以(1＋ab)2≤(1＋a)(1＋b)，所以lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．【答案】≤16．(2016·杭州高二检测)对于命题“如果O是线段AB上一点，则|OB→|·OA→＋|OA→|·OB→＝0”将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·OA→＋S△OCA·OB→＋S△OBA·OC→＝0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有_______________________________________________．【导学号：19220033】【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为VO­BCD·OA→＋VO­ACD·OB→＋VO­ABD·OC→＋VO­ABC·OD→＝0.【答案】VO­BCD·OA→＋VO­ACD·OB→＋VO­ABD·OC→＋VO­ABC·OD→＝0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知a，b，c成等差数列，求证：ab＋ac，b2＋ac，ac＋bc也成等差数列．【证明】因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以(ab＋ac)＋(ac＋bc)＝b(a＋c)＋2ac＝2(b2＋ac)．所以ab＋ac，b2＋ac，ac＋bc也成等差数列．18．(本小题满分12分)在平面几何中，对于Rt△ABC，∠C＝90°，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则(1)a2＋b2＝c2；(2)cos2A＋cos2B＝1；(3)Rt△ABC的外接圆半径r＝a2＋b22.把上面的结论类比到空间写出类似的结论，无需证明．【解】在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面积为S，则S21＋S22＋S23＝S2.(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球半径R＝a2＋b2＋c22.19．(本小题满分12分)已知△ABC的三条边分别为a，b，c，且ab，求证：ab1＋aba＋b1＋a＋b.【证明】依题意a0，b0，所以1＋ab0,1＋a＋b0.所以要证ab1＋aba＋b1＋a＋b，只需证ab(1＋a＋b)(1＋ab)(a＋b)，只需证aba＋b，因为ab，所以ab2aba＋b，所以ab1＋aba＋b1＋a＋b.20．(本小题满分12分)(2016·大同高二检测)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an2＋an，n∈N*，求a2，a3，a4，并猜想数列的通项公式，并给出证明．【解】数列{an}中，a1＝1，a2＝2a12＋a1＝23，a3＝2a22＋a2＝12＝24，a4＝2a32＋a3＝25，…，所以猜想{an}的通项公式an＝2n＋1(n∈N*)．此猜想正确．证明如下：因为a1＝1，an＋1＝2an2＋an，所以1an＋1＝2＋an2an＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12，所以数列1an是以1a1＝1为首项，公差为12的等差数列，所以1an＝1＋(n－1)12＝n2＋12，即通项公式an＝2n＋1(n∈N*)．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－x2，x∈R.(1)若正数m，n满足m·n1，证明：f(m)，f(n)至少有一个不小于零；(2)若a，b为不相等的正实数且满足f(a)＝f(b)，求证：a＋b43.【证明】(1)假设f(m)0，f(n)0，即m3－m20，n3－n20，∵m0，n0，∴m－10，n－10，∴0m1,0n1，∴mn1，这与m·n1矛盾，∴假设不成立，即f(m)，f(n)至少有一个不小于零．(2)证明：由f(a)＝f(b)，得a3－a2＝b3－b2，∴a3－b3＝a2－b2，∴(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)(a＋b)，∵a≠b，∴a2＋ab＋b2＝a＋b，∴(a＋b)2－(a＋b)＝aba＋b22，∴34(a＋b)2－(a＋b)0，解得a＋b43.22．(本小题满分12分)设f(x)＝ax＋a－x2，g(x)＝ax－a－x2(其中a0，且a≠1)．(1)5＝2＋3，请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．【解】(1)f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝a3＋a－32·a2－a－22＋a3－a－32·a2＋a－22＝a5－a－52，又g(5)＝a5－a－52，∴g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．(2)由(1)知g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，即g(3＋2)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，于是推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．证明：∵f(x)＝ax＋a－x2，g(x)＝ax－a－x2，g(x＋y)＝ax＋y－a－x＋y2，g(y)＝ay－a－y2，f(y)＝ay＋a－y2，∴f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝ax＋a－x2·ay－a－y2＋ax－a－x2