高中数学人教A版选修12章末综合测评3Word版含解析

章末综合测评(三)数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2015·福建高考)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A．3，－2B．3,2C．3，－3D．－1,4【解析】(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝－2.【答案】A2．(2015·广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝()A．2－3iB．2＋3iC．3＋2iD．3－2i【解析】∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i.【答案】A3．(2016·衡阳高二检测)若i(x＋yi)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数x＋yi的模是()A．2B．3C．4D．5【解析】由i(x＋yi)＝3＋4i，得－y＋xi＝3＋4i，解得x＝4，y＝－3，所以复数x＋yi的模为42＋－32＝5.【答案】D4．(2014·广东高考)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝()A．－3－4iB．－3＋4iC．3－4iD．3＋4i【解析】由(3－4i)z＝25，得z＝253－4i＝253＋4i3－4i3＋4i＝3＋4i，故选D.【答案】D5．(2016·天津高二检测)“m＝1”是“复数z＝(1＋mi)(1＋i)(m∈R，i为虚数单位)为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】z＝(1＋mi)(1＋i)＝1＋i＋mi－m＝(1－m)＋(1＋m)i，若m＝1，则z＝2i为纯虚数；若z为纯虚数，则m＝1.故选C.【答案】C6．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在()【导学号：19220054】A．实轴上B．虚轴上C．直线y＝±x(x≠0)上D．以上都不对【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，∵z2＝a2－b2＋2abi为纯虚数，∴{a2－b2＝0，ab≠0.∴a＝±b，即z在复平面上的对应点在直线y＝±x(x≠0)上．【答案】C7．设复数z满足1－z1＋z＝i，则|1＋z|＝()A．0B．1C.2D．2【解析】∵1－z1＋z＝i，∴z＝1－i1＋i＝1－i21＋i1－i＝－i，∴|z＋1|＝|1－i|＝2.【答案】C8．设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若z·zi＋2＝2z，则z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z·zi＋2＝2z，得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，由复数相等的条件得{a2＋b2＝2b，＝2a，得{a＝1，b＝1，∴z＝1＋i.【答案】A9．若z＝cosθ＋isinθ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是()A.π6B.π4C.π3D.π2【解析】z2＝(cosθ＋isinθ)2＝(cos2θ－sin2θ)＋2isinθcosθ＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴{sin2θ＝0，θ＝－1，∴2θ＝2kπ＋π(k∈Z)，∴θ＝kπ＋π2(k∈Z)，令k＝0知选D.【答案】D10．当z＝－1－i2时，z100＋z50＋1的值是()A．1B．－1C．iD．－i【解析】原式＝－1－i2100＋－1－i250＋1＝1－i2250＋1－i2225＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故应选D.【答案】D11．在复平面上，正方形OBCA的三个顶点A，B，O对应的复数分别为1＋2i，－2＋i,0，则这个正方形的第四个顶点C对应的复数是()A．3＋iB．3－iC．1－3iD．－1＋3i【解析】∵正方形的三个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(－2,1)，O(0,0)，∴设第四个顶点C的坐标为(x，y)，则BC→＝OA→，∴(x＋2，y－1)＝(1,2)．∴{x＋2＝1，y－1＝2，∴{x＝－1，y＝3，∴第四个顶点C的坐标为(－1,3)．【答案】D12．复数z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应向量的模为2，则|z＋2|的最大值为()A．2B．4C．6D．8【解析】由于|z|＝2，所以x－22＋y2＝2，即(x－2)2＋y2＝4，故点(x，y)在以(2,0)为圆心，2为半径的圆上，而|z＋2|＝|x＋yi|＝x2＋y2，它表示点(x，y)与原点的距离，结合图形易知|z＋2|的最大值为4，故选B.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)13．(2015·天津高考)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．【解析】由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.【答案】－214．复数z1＝1－i1＋i2，z2＝2－i3分别对应复平面内的点P，Q，则向量PQ→对应的复数是________．【解析】∵z1＝1－i1＋i2＝－1，z2＝2－i3＝2＋i，∴P(－1,0)，Q(2,1)，∴PQ→＝(3,1)，即PQ→对应的复数为3＋i.【答案】3＋i15．定义运算||abcd＝ad－bc，则对复数z＝x＋yi(x，y∈R)符合条件||zz2i＝3＋2i的复数z等于_________________________________．【导学号：19220055】【解析】由定义运算，得||zz2i＝2zi－z＝3＋2i，则z＝3＋2i－1＋2i＝3＋2i－1－2i－1＋2i－1－2i＝15－85i.【答案】15－85i16．复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________．【解析】复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，因为该点位于第二象限，所以{a－20，a＋10，解得－1a2.由条件得|z|＝a－22＋a＋12＝2a2－2a＋5＝2a2－a＋14＋92＝2a－122＋92，因为－1a2，所以|z|∈322，3.【答案】322，3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是4－20i的共轭复数，求实数x的值．【解】∵复数4－20i的共轭复数为4＋20i，∴x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i＝4＋20i，∴{x2＋x－2＝4，x2－3x＋2＝20，∴x＝－3.18．(本小题满分12分)已知复数z＝(2＋i)m2－6m1－i－2(1－i)，当实数m取什么值时，复数z是：(1)虚数；(2)纯虚数．【解】z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，(1)当m2－3m＋2≠0，即m≠2且m≠1时，z为虚数．(2)当{2m2－3m－2＝0，m2－3m＋2≠0，即m＝－12时，z为纯虚数．19．(本小题满分12分)设复数z＝1＋i2＋31－i2＋i，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．【解】z＝1＋i2＋31－i2＋i＝2i＋31－i2＋i＝3－i2＋i＝3－i2－i2＋i2－i＝1－i.将z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，得(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i，所以{a＋b＝1，－a＋2＝1.所以{a＝－3，b＝4.20．(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.【解】设z＝x＋yi，x，y∈R，因为OA∥BC，|OC|＝|BA|，所以kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，即21＝y－6x＋2，x2＋y2＝32＋42，解得{x1＝－5，y1＝0或{x2＝－3，y2＝4.因为|OA|≠|BC|，所以x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.21．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝2，z2的虚部为2.(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．【解】(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知条件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，∴2ab＝2.∴a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.∴点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，∴S△ABC＝12|AC|×1＝12×2×1＝1.当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.∴点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，∴S△ABC＝12|AC|×1＝12×2×1＝1.即△ABC的面积为1.22．(本小题满分12分)已知关于x的方程：x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a，b的值；(2)若复数z满足|z－a－bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值.【导学号：19220056】【解】(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，∴{b2－6b＋9＝0，a＝b，解得a＝b＝3.(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－3－3i|＝2|z|，得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，即(x＋1)2＋(y－1)2＝8，∴复数z对应的点Z的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，22为半径的圆，如图所示．当点Z在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值，∵|OO1|＝2，半径r＝22，∴当z＝1－i时，|z|有最小值且|z|min＝2.