高中数学人教A版选修12课时跟踪检测一回归分析的基本思想及其初步应用Word版含解析

课时跟踪检测(一)回归分析的基本思想及其初步应用一、选择题1．(重庆高考)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x－＝3，y－＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为()A.y^＝0.4x＋2.3B.y^＝2x－2.4C.y^＝－2x＋9.5D.y^＝－0.3x＋4.4解析：选A依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C、D.且直线必过点(3,3.5)，代入A、B得A正确．2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85建立的回归模型拟合效果最好的同学是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选A相关指数R2越大，表示回归模型拟合效果越好．3．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x－85.71.则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x－，y－)C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg解析：选D回归方程中x的系数为0.85＞0，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(x－，y－)，B正确；依据回归方程中b^的含义可知，x每变化1个单位，y^相应变化约0.85个单位，C正确；用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故D不正确．4．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和i＝1n(yi－y^i)2，如下表：甲乙丙丁散点图残差平方和115106124103哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高？()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选D从题中的散点图上来看，丁同学的散点图中的点更加近似在一条直线附近；从残差平方和来看，丁同学的最小，说明拟合精度最高．5．(福建高考)已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y^＝b^x＋a^，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是()A.b^b′，a^a′B.b^b′，a^a′C.b^b′，a^a′D.b^b′，a^a′解析：选C由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y＝2x－2，b′＝2，a′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b^＝i＝16xiyi－6x－y－i＝16x2i－6x－2＝58－6×72×13691－6×722＝57，a^＝y－－b^x－＝136－57×72＝－13，所以b^b′，a^a′.二、填空题6．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为_________．解析：根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.答案：17．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下表：父亲身高x(cm)174176176176178儿子身高y(cm)175175176177177则y对x的线性回归方程为________________．解析：设y对x的线性回归方程为y^＝b^x＋a^，由表中数据得x－＝176，y－＝176，b^＝12，a^＝176－12×176＝88，所以y对x的线性回归方程为y^＝12x＋88.答案：y^＝12x＋888．关于x与y有如下数据：x24568y3040605070为了对x，y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲：y^＝6.5x＋17.5，乙：y^＝7x＋17，则____________(填“甲”或“乙”)模型拟合的效果更好．解析：设甲模型的相关指数为R21，则R21＝1－i＝15yi－y^i2i＝15yi－y－2＝1－1551000＝0.845；设乙模型的相关指数为R22，则R22＝1－1801000＝0.82.因为0.845＞0.82，即R21＞R22，所以甲模型拟合效果更好．答案：甲三、解答题9．(新课标全国卷Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^＝i＝1nti－t－yi－y－i＝1nti－t－2，a^＝y－－b^t－.解：(1)由所给数据计算得t－＝17×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y－＝17×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，i＝17(ti－t－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，i＝17(ti－t－)(yi－y－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b^＝i＝17ti－t－yi－y－i＝17ti－t－2＝1428＝0.5，a^＝y－－b^t－＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为y^＝0.5t＋2.3.(2)由(1)知，b^＝0.50，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得y^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．10．在一段时间内，某种商品的价格x(元)和需求量y(件)之间的一组数据如下表：价格x/元1416182022需求量y/件5650434137求出y关于x的线性回归方程，并说明拟合效果的好坏．(参考数据：∑5i＝1x2i＝1660，∑5i＝1xiyi＝3992)解：从作出的散点图(图略)可看出，这些点在一条直线附近，可用线性回归模型来拟合数据．由数据可得x－＝18，y－＝45.4.由计算公式得b^＝－2.35，a^＝y－－b^x－＝87.7.故y关于x的线性回归方程为y^＝－2.35x＋87.7.列表：yi－y^i1.2－0.1－2.40.31yi－y－10.64.6－2.4－4.4－8.4所以∑5i＝1(yi－y^i)2＝8.3，∑5i＝1(yi－y－)2＝229.2.相关指数R2＝1－∑5i＝1yi－y^i2∑5i＝1yi－y－2≈0.964.因为0.964很接近于1，所以该模型的拟合效果好．