高中数学人教A版选修12课时跟踪检测三合情推理与演绎推理Word版含解析

课时跟踪检测(三)合情推理与演绎推理一、选择题1．下列类比推理恰当的是()A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logayB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bnD．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c答案：D2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：选D等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1＋a2＋…＋a9＝2＋2＋…＋29个＝2×9.3．观察式子：1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274，…，则可归纳出第n－1个式子为()A．1＋122＋132＋…＋1n212n－1B．1＋122＋132＋…＋1n212n＋1C．1＋122＋132＋…＋1n22n－1nD．1＋122＋132＋…＋1n22n2n＋1解析：选C观察可得第n－1个式子为：不等式的左边为1i2的前n项的和，右边为分式2n－1n.4．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289B．1024C．1225D．1378解析：选C记三角形数构成的数列为{an}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1225.5．将正整数排成下表：12345678910111213141516……则在表中数字2013出现在()A．第44行第78列B．第45行第78列C．第44行第77列D．第45行第77列解析：选D第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936＜2013＜2025，∴2013在第45行．又2025－2013＝12，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2013在第89－12＝77列．二、填空题6．设函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________________________.解析：由已知可归纳如下：f1(x)＝x21－1x＋21，f2(x)＝x22－1x＋22，f3(x)＝x23－1x＋23，f4(x)＝x24－1x＋24，…，fn(x)＝x2n－1x＋2n.答案：x2n－1x＋2n7．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示_________________．解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．答案：过原点的平面8．观察下列等式：23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，53＝21＋23＋25＋27＋29，…，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于________．解析：经观察，等式右边的数组成数列：3,5,7,9,11，…，所以由3＋(n－1)×2＝109得n＝54，再由等式右边的数的个数为2,3,4，…，且分别等于左边数的底数，可得2＋3＋4＋…＋m＝54，即m－1m＋22＝54，解得m＝10.答案：10三、解答题9．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知an＝9900，an是数列第几项？解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n＋1)(n＋2)＝9900，所以n＝98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．10．已知椭圆具有以下性质：已知M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)写出类似的性质，并加以证明．解：类似的性质为：已知M，N是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．证明如下：设点M，P的坐标为(m，n)，(x，y)，则N点的坐标为(－m，－n)．∵点M(m，n)在已知双曲线x2a2－y2b2＝1上，∴m2a2－n2b2＝1，得n2＝b2a2m2－b2.同理y2＝b2a2x2－b2.∴y2－n2＝b2a2(x2－m2)．则kPM·kPN＝y－nx－m·y＋nx＋m＝y2－n2x2－m2＝b2a2·x2－m2x2－m2＝b2a2(定值)．∴kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．