高中数学人教A版选修21第三章空间向量与立体几何311312Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．对于空间中任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是()A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．既不共线也不共面向量【解析】由共面向量定理易得答案A.【答案】A2．已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D【解析】BD→＝BC→＋CD→＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，BA→＝－AB→＝－a－2b，∴BD→＝－2BA→，∴BD→与BA→共线，又它们经过同一点B，∴A，B，D三点共线．【答案】A3．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若OP→＝34OA→＋18OB→＋18OC→，则P，A，B，C四点()A．不共面B．共面C．不一定共面D．无法判断【解析】∵34＋18＋18＝1，∴点P，A，B，C四点共面．【答案】B4．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，用向量AB→，AD→，AA1→表示向量BD1→的结果为()图3­1­11A.BD1→＝AB→－AD→＋AA1→B.BD1→＝AD→＋AA1→－AB→C.BD1→＝AB→＋AD→－AA1→D.BD1→＝AB→＋AD→＋AA1→【解析】BD1→＝BA→＋AA1→＋A1D1→＝－AB→＋AA1→＋AD→.故选B.【答案】B5．如图3­1­12，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则()图3­1­12A.EF→＋GH→＋PQ→＝0B.EF→－GH→－PQ→＝0C.EF→＋GH→－PQ→＝0D.EF→－GH→＋PQ→＝0【解析】由题图观察，EF→、GH→、PQ→平移后可以首尾相接，故有EF→＋GH→＋PQ→＝0.【答案】A二、填空题6．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．(填序号)①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．【解析】当λ＝0时，a＝μe2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μe2知，a与e1，e2共面．【答案】①②③7．已知O为空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA→＝2xBO→＋3yCO→＋4zDO→，则2x＋3y＋4z的值为________．【解析】由题意知A，B，C，D共面的充要条件是对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得OA→＝x1OB→＋y1OC→＋z1OD→，且x1＋y1＋z1＝1，因此2x＋3y＋4z＝－1.【答案】－18．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB→＝2e1＋ke2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.【导学号：18490085】【解析】由已知可得：BD→＝CD→－CB→＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵A，B，D三点共线，∴AB→与BD→共线，即存在λ∈R使得AB→＝λBD→.∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，∵e1，e2不共线，∴λ＝2，k＝－4λ，解得k＝－8.【答案】－8三、解答题9．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x，y的值．(1)OQ→＝PQ→＋xPC→＋yPA→；(2)PA→＝xPO→＋yPQ→＋PD→.【解】如图所示，(1)∵OQ→＝PQ→－PO→＝PQ→－12(PA→＋PC→)＝PQ→－12PA→－12PC→，∴x＝y＝－12.(2)∵PA→＋PC→＝2PO→，∴PA→＝2PO→－PC→.又∵PC→＋PD→＝2PQ→，∴PC→＝2PQ→－PD→.从而有PA→＝2PO→－(2PQ→－PD→)＝2PO→－2PQ→＋PD→.∴x＝2，y＝－2.10.如图3­1­13，四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断CE→与MN→是否共线．图3­1­13【解】∵M，N分别是AC，BF的中点，又四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形，∴MN→＝MA→＋AF→＋FN→＝12CA→＋AF→＋12FB→.又∵MN→＝MC→＋CE→＋EB→＋BN→＝－12CA→＋CE→－AF→－12FB→，∴12CA→＋AF→＋12FB→＝－12CA→＋CE→－AF→－12FB→.∴CE→＝CA→＋2AF→＋FB→＝2(MA→＋AF→＋FN→)，∴CE→＝2MN→，∴CE→∥MN→，即CE→与MN→共线．[能力提升]1．若P，A，B，C为空间四点，且有PA→＝αPB→＋βPC→，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若α＋β＝1，则PA→－PB→＝β(PC→－PB→)，即BA→＝βBC→，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有AB→＝λBC→，故PB→－PA→＝λ(PC→－PB→)，整理得PA→＝(1＋λ)PB→－λPC→，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.【答案】C2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有PM→＝PB1→＋7BA→＋6AA1→－4A1D1→，那么M必()A．在平面BAD1内B．在平面BA1D内C．在平面BA1D1内D．在平面AB1C1内【解析】由于PM→＝PB1→＋7BA→＋6AA1→－4A1D1→＝PB1→＋BA→＋6BA1→－4A1D1→＝PB1→＋B1A1→＋6BA1→－4A1D1→＝PA1→＋6(PA1→－PB→)－4(PD1→－PA1→)＝11PA1→－6PB→－4PD1→，于是M，B，A1，D1四点共面，故选C.【答案】C3．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________.【导学号：18490086】①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．【解析】当λ＝0时，a＝μe2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μe2，知a与e1，e2共面．【答案】①②③4.如图3­1­14所示，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点．试判断向量MN→与向量AD→，BC→是否共面．图3­1­14【解】由题图可得：MN→＝MA→＋AD→＋DN→，①∵MN→＝MB→＋BC→＋CN→，②又MA→＝－MB→，DN→＝－CN→，所以①＋②得：2MN→＝AD→＋BC→，即MN→＝12AD→＋12BC→，故向量MN→与向量AD→，BC→共面.