高中数学人教A版选修21第三章空间向量与立体几何314Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．点A(－1，2，1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为()A．(－1，0，1)，(－1，2，0)B．(－1，0，0)，(－1，2，0)C．(－1，0，0)，(－1，0，0)D．(－1，2，0)，(－1，2，0)【解析】点A在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy平面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故应选B.【答案】B2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是()A．向量AB→的坐标与点B的坐标相同B．向量AB→的坐标与点A的坐标相同C．向量AB→与向量OB→的坐标相同D．向量AB→与向量OB→－OA→的坐标相同【解析】因为A点不一定为坐标原点，所以A，B，C都不对；由于AB→＝OB→－OA→，故D正确．【答案】D3．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则B1M→可表示为()A.12a＋12b＋cB.12a－12b＋cC．－12a－12b＋cD．－12a＋12b＋c【解析】由于B1M→＝B1B→＋BM→＝B1B→＋12(BA→＋BC→)＝－12a＋12b＋c，故选D.【答案】D4．正方体ABCD­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{AO→1，AO→2，AO→3}为基底，AC′→＝xAO→1＋yAO2→＋zAO→3，则x，y，z的值是()A．x＝y＝z＝1B．x＝y＝z＝12C．x＝y＝z＝22D．x＝y＝z＝2【解析】AC′→＝AA′→＋AD→＋AB→＝12(AB→＋AD→)＋12(AA′→＋AD→)＋12(AA′→＋AB→)＝12AC→＋12AD′→＋12AB′→＝AO1→＋AO3→＋AO2→，由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1.【答案】A5．已知空间四点A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，D(x，－1，3)共面，则x的值为()【导学号：18490096】A．4B．1C．10D．11【解析】AB→＝(－2，2，－2)，AC→＝(－1，6，－8)，AD→＝(x－4，－2，0)，∵A，B，C，D共面，∴AB→，AC→，AD→共面，∴存在实数λ，μ，使AD→＝λAB→＋μAC→，即(x－4，－2，0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，∴x－4＝－2λ－μ，－2＝2λ＋6μ，0＝－2λ－8μ，得λ＝－4，μ＝1，x＝11.【答案】D二、填空题6．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a与b的位置关系是________．【解析】∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0.∴a⊥b.【答案】a⊥b7.如图3­1­32,在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则B1M→＝________．图3­1­32【解析】B1M→＝AM→－AB1→＝12(AB→＋AD→)－(AB→＋AA1→)＝－12AB→＋12AD→－AA1→＝－12a＋12b－c.【答案】－12a＋12b－c8．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．【解析】由题意知点A对应的向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8，3，12)．【答案】(8，3，12)三、解答题9．已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且OA→＝e1＋2e2－e3，OB→＝－3e1＋e2＋2e3，OC→＝e1＋e2－e3，能否以OA→，OB→，OC→作为空间的一个基底？【导学号：18490097】【解】假设OA→，OB→，OC→共面，根据向量共面的充要条件有OA→＝xOB→＋yOC→，即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.∴－3x＋y＝1，x＋y＝2，2x－y＝－1，此方程组无解．∴OA→，OB→，OC→不共面．∴{OA→，OB→，OC→}可作为空间的一个基底．10．如图3­1­33，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，MA→＝－13AC→，ND→＝13A1D→，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，试用a，b，c表示MN→.图3­1­33【解】连接AN，则MN→＝MA→＋AN→.由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得AC→＝AB→＋AD→＝a＋b，MA→＝－13AC→＝－13(a＋b)，又A1D→＝AD→－AA1→＝b－c，故AN→＝AD→＋DN→＝AD→－ND→＝AD→－13A1D→＝b－13(b－c)，MN→＝MA→＋AN→＝－13(a＋b)＋b－13(b－c)＝13(－a＋b＋c)．[能力提升]1．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB.M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则OG→等于()A.16OA→＋13OB→＋12OC→B.14(OA→＋OB→＋OC→)C.13(OA→＋OB→＋OC→)D.16OB→＋13OA→＋13OC→【解析】如图，OG→＝12(OM→＋ON→)＝12OM→＋12×12(OB→＋OC→)＝14OA→＋14OB→＋14OC→＝14(OA→＋OB→＋OC→)．【答案】B2．若向量MA→，MB→，MC→的起点M和终点A，B，C互不重合无三点共线，则能使向量MA→，MB→，MC→成为空间一组基底的关系是()A.OM→＝13OA→＋13OB→＋13OC→B.MA→＝MB→＋MC→C.OM→＝OA→＋OB→＋OC→D.MA→＝2MB→－MC→【答案】C3．在空间四边形ABCD中，AB→＝a－2c，CD→＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则EF→＝________．【解析】EF→＝12(ED→＋EB→)＝14(AD→＋CD→)＋14(AB→＋CB→)＝14AB→＋14BD→＋14CD→＋14AB→＋14CD→＋14DB→＝12(AB→＋CD→)＝3a－52b＋3c.【答案】3a－52b＋3c4.在直三棱柱ABO­A1B1O1中，∠AOB＝π2，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图3­1­34所示的空间直角坐标系中，求DO→，A1B→的坐标．图3­1­34【解】∵DO→＝－OD→＝－(OO1→＋O1D→)＝－[OO1→＋12(OA→＋OB→)]＝－OO1→－12OA→－12OB→.又|OO1→|＝|AA1→|＝4，|OA→|＝4，|OB→|＝2，∴DO→＝(－2，－1，－4)．∵A1B→＝OB→－OA1→＝OB→－(OA→＋AA1→)＝OB→－OA→－AA1→.又|OB→|＝2，|OA→|＝4，|AA1→|＝4，∴A1B→＝(－4，2，－4).