高中数学人教A版选修22课时训练31数系的扩充和复数的概念311Word版含答案

3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念[学习目标]1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．[知识链接]为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？答设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根，即i·i＝－1，方程x2＝－1有解，同时得到一些新数．[预习导引]1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．通常用大写字母C表示．2．复数的分类及包含关系(1)复数(a＋bi，a，b∈R)实数b＝0虚数b≠0纯虚数a＝0非纯虚数a≠0(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.要点一复数的概念例1请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数．①2＋3i；②－3＋12i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0.解①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．规律方法复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．跟踪演练1已知下列命题：①复数a＋bi不是实数；②当z∈C时，z2≥0；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数；⑤若a、b、c、d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d.其中真命题的个数是________．答案0解析根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当a∈R且b＝0时，a＋bi是实数．②是假命题，如当z＝i时，则z2＝－10，③是假命题，因为由纯虚数的条件得x2－4＝0，x2＋3x＋2≠0，解得x＝2，当x＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调a，b∈R.⑤是假命题，只有当a、b、c、d∈R时，结论才成立．要点二复数的分类例2实数m为何值时，复数z＝mm＋2m－1＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且mm＋2m－1有意义即m－1≠0，解得m＝－3.(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且mm＋2m－1有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z是纯虚数，m需满足mm＋2m－1＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.规律方法利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪演练2实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．解由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.(3)当k2－3k－4＝0k2－5k－6≠0时，z是纯虚数，解得k＝4.(4)当k2－3k－4＝0k2－5k－6＝0时，z＝0，解得k＝－1.要点三两个复数相等例3(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值．(2)关于x的方程3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．解(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴x2－y2＝0，2xy＝2，解得x＝1，y＝1，或x＝－1，y＝－1.(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，∴3m2－a2m－1＝0，10－m－2m2＝0，解得a＝11或a＝－715.规律方法两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪演练3已知x，y均是实数，且满足(x＋y)＋(y－1)i＝2x＋3y＋(2y＋1)i，求x与y.解由复数相等的充要条件得x＋y＝2x＋3y且y－1＝2y＋1，解得x＝4，y＝－2.1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A.2，1B．2，5C．±2，5D．±2，1答案C解析令a2＝2－2＋b＝3，得a＝±2，b＝5.2．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是()A．±1B．±iC．±2iD．±2i答案C3．下列命题正确的是()A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数B．若a，b∈R且ab，则a＋ib＋iC．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1D．两个虚数不能比较大小答案D解析对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在A中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故A错误；在B中，两个虚数不能比较大小，故B错误；在C中，若x＝－1，不成立，故C错误；D正确．4．在下列几个命题中，正确命题的个数为()①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－ai(a∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；⑦2i是一个无理数．A．3个B．4个C．5个D．6个答案B解析命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断.一、基础达标1．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为()A．1B．0C．－1D．－1或1答案B解析由题意知mm＋1＝0m2－1≠0，∴m＝0.2．(2013·青岛二中期中)设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．3．以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是()A．2－2iB．－5＋5iC．2＋iD．5＋5i答案A解析设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知：复数－5＋2i的虚部为2；复数5i＋2i2＝5i＋2×(－1)＝－2＋5i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为()A.12B．2C．0D．1答案D解析由复数相等的充要条件知，x＋y＝0，x－1＝0，解得x＝1，y＝－1，∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.5．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.答案2±2解析由z1＝z2得－3＝n2－3m－1－4＝n2－m－6，解得m＝2n＝±2.6．(2013·上海)设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.答案－2解析m2＋m－2＝0m2－1≠0⇒m＝－2.7．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．解∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，∴2x－y＋1＝0，y－2＝0.解得x＝12，y＝2.所以实数x，y的值分别为12，2.二、能力提升8．若(x3－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是()A．1B．－1C．±1D．－1或－2答案A解析由题意，得x3－1＝0，x2＋3x＋2≠0.解得x＝1.9．若sin2θ－1＋i(2cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为()A．2kπ－π4(k∈Z)B．2kπ＋π4(k∈Z)C．2kπ±π4(k∈Z)D．k2π＋π4(k∈Z)答案B解析由题意，得sin2θ－1＝02cosθ＋1≠0，解得θ＝kπ＋π4θ≠2kπ±3π4(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋π4，k∈Z.10．在给出下列几个命题中，正确命题的个数为________．①若x是实数，则x可能不是复数；②若z是虚数，则z不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根．答案1解析因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错．11．实数m分别为何值时，复数z＝2m2＋m－3m＋3＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z为实数，则m2－3m－18＝0m＋3≠0，解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，解得m≠6且m≠－3，所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.故若使z为纯虚数，则2m2＋m－3＝0m＋3≠0m2－3m－18≠0，解得m＝－32或m＝1.所以当m＝－32或m＝1时，z为纯虚数．12．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1z2，求实数m的取值范围．解由于z1z2，m∈R，∴z1∈R且z2∈R，当z1∈R时，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，∴当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1z2.∴z1z2时，实数m的取值为m＝1.三、探究与创新13．如果log12(m＋n)－(m2－3m)i－1，如何求自然数m，n的值？解因为log12(m＋n)－(m2－3m)i－1，所以log12(m＋n)－(m2－3m)i是实数，从而有m2－3m＝0，①log12m＋n－1，②由①得m＝0或m＝3，当m＝0时，代入②得n2，又m＋n0，所以n＝1；当m＝3时，代入②得n－1，与n是自然数矛盾，综上可得m＝0，n＝1