高中数学人教A版选修22课时训练32复数代数形式的四则运算321Word版含答案

3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义[学习目标]1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则．2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．[知识链接]在小学我们学习过实数的加减运算，上一节我们把实数系扩充到了复数系．那么，复数如何进行加减运算？两个复数的和差是个什么数，它的值唯一确定吗？复数加减法的几何意义是什么？这就是本节我们要研究的问题．[预习导引]1．复数加法与减法的运算法则(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2．复数加减法的几何意义如图，设复数z1，z2对应向量分别为OZ→1，OZ→2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量OZ→与复数z1＋z2对应，向量Z2Z1→与复数z1－z2对应．要点一复数加减法的运算例1(1)计算(2＋4i)＋(3－4i)；(2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)．解(1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5.(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.规律方法复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项．跟踪演练1计算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．解(1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.(2)原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.要点二复数加减法的几何意义例2复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．则AD→＝OD→－OA→＝(x，y)－(1,2)＝(x－1，y－2)．BC→＝OC→－OB→＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．∵AD→＝BC→，∴x－1＝1y－2＝－3，解得x＝2y＝－1，故点D对应的复数为2－i.规律方法复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．跟踪演练2如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：(1)AO→表示的复数；(2)对角线CA→表示的复数；(3)对角线OB→表示的复数．解(1)因为AO→＝－OA→，所以AO→表示的复数为－3－2i.(2)因为CA→＝OA→－OC→，所以对角线CA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB→＝OA→＋OC→，所以对角线OB→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.要点三复数加减法的综合应用例3已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.解法一设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1②由①②得2ac＋2bd＝1，∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝3.法二设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC→|＝|OA→|2＋|AC→|2－2|OA→||AC→|cos120°＝3.规律方法(1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．跟踪演练3本例中，若条件变成|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2.求|z1－z2|.解由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝2.1．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于()A．0B．2iC．6D．6－2i答案D解析z＝3－i－(i－3)＝6－2i.2．复数i＋i2在复平面内表示的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析i＋i2＝－1＋i，对应的点在第二象限．3．在复平面内，O是原点，OA→，OC→，AB→表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则BC→表示的复数为()A．2＋8iB．－6－6iC．4－4iD．－4＋2i答案C解析BC→＝OC→－OB→＝OC→－(AB→＋OA→)＝(4，－4)．∴BC→表示的复数为4－4i.4．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在()A．实轴上B．虚轴上C．第一象限D．第二象限答案B解析∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．5．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.答案－1解析z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴a2－a－2＝0，a2＋a－6≠0，解得a＝－1.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.一、基础达标1．复数z1＝2－12i，z2＝12－2i，则z1＋z2等于()A．0B.32＋52iC．52－52iD．52－32i答案C解析z1＋z2＝2＋12－12＋2i＝52－52i.2．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于()A．1＋iB．1＋3iC．－1－iD．－1－3i答案B解析z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.3．复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2等于()A．2B．2＋2iC．4＋2iD．4－2i答案C4．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为()A．1＋iB．2＋iC．3D．－2－i答案D解析由2＋a＝0b＋1＝0，得a＝－2b＝－1，∴a＋bi＝－2－i.5．若复数z1＝－1，z2＝2＋i分别对应复平面上的点P、Q，则向量PQ→对应的复数是________．答案3＋i解析∵P(－1,0)，Q(2,1)，∴PQ→＝(3,1)，∴PQ→对应的复数为3＋i.6．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．答案1解析由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．|z－1|表示z对应的点与(1,0)的距离．∴|z－1|min＝1.7．计算：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；(2)13＋12i＋(2－i)－43－32i.(3)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.解(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.(2)13＋12i＋(2－i)－43－32i＝13＋12i＋2－i－43＋32i＝13＋2－43＋12－1＋32i＝1＋i.(3)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.二、能力提升8．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于()A．－3iB．3iC．±3iD．4i答案B解析设z＝a＋bi(a、b∈R)，则z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，∴a＝0，b＋3≠0，又|b|＝3，∴b＝3，z＝3i.9．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD，则|BD→|等于()A．5B．13C．15D．17答案B解析如图，设D(x，y)，F为▱ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为2，32，所以x＋1＝4，y＋0＝3，即x＝3，y＝3.所以点D对应的复数为z＝3＋3i，所以BD→＝OD→－OB→＝(3,3)－(1,0)＝(2,3)，所以|BD→|＝13.10．如果一个复数与它的模的和为5＋3i，那么这个复数是________．答案115＋3i解析设这个复数为x＋yi(x，y∈R)∴x＋yi＋x2＋y2＝5＋3i，∴x＋x2＋y2＝5y＝3，∴x＝115y＝3，∴x＋yi＝115＋3i.11．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量BA→对应的复数是1＋2i，向量BC→对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标．解∵AC→＝BC→－BA→，∴AC→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i，设C(x，y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i，∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，故x＝4，y＝－2.∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．解法一设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)．∴AC中点为32，2，BD中点为x2，y－12.∵平行四边形对角线互相平分，∴32＝x22＝y－12，∴x＝3y＝5.即点D对应的复数为3＋5i.法二设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．则AD→对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)＝(x－1)＋(y－3)i，又BC→对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i，由于AD→＝BC→.∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i.∴x－1＝2y－3＝2，∴x＝3y＝5.即点D对应的复数为3＋5i.三、探究与创新13．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.(1)求AB→，BC→，AC→对应的复数；(2)判断△ABC的形状；(3)求△ABC的面积．解(1)AB→对应的复数为2＋i－1＝1＋i，BC→对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，AC→对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i，(2)∵|AB→|＝2，|BC→|＝10，|AC→|＝8＝22，∴|AB→|2＋|AC→|2＝|BC→|2，∴△ABC为直角三角形．(3)S△ABC＝12×2×22＝2.