高中数学人教A版选修41章末综合测评1Word版含解析

章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图1，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列式子：图1①AEEC＝BFFC；②ADBF＝ABBC；③EFAB＝DEBC；④CECF＝EABF.其中正确式子的个数有()A．4个B．3个C．2个D．1个【解析】由平行线分线段成比例定理知，①②④正确．故选B.【答案】B2．如图2，DE∥BC，S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，则AD∶DB的值为()【导学号：07370024】图2A．1∶4B．1∶3C．1∶2D．1∶5【解析】由S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，得S△ADE∶S△ABC＝1∶9，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵ADAB2＝S△ADES△ABC＝19，∴ADAB＝13，∴AD∶DB＝1∶2.【答案】C3．如图3所示，将△ABC的高AD三等分，过每一分点作底面平行线，这样把三角形分成三部分，则这三部分的面积为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3等于()图3A．1∶2∶3B．2∶3∶4C．1∶3∶5D．3∶5∶7【解析】如图所示，E，F分别为△ABC高AD的三等分点，过点E作BC的平行线交AB，AC于点M，N，过点F作BC的平行线交AB，AC于点G，H.△AMN∽△ABC，S△AMNS△ABC＝19，∴S1＝19S△ABC.又△AGH∽△ABC，S△AGHS△ABC＝49，S△AGH＝S1＋S2，∴S1＋S2＝49S△ABC，∴S2＝39S△ABC，∴S3＝59S△ABC，∴S1∶S2∶S3＝1∶3∶5，故选C.【答案】C4．如图4，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD＝3CE，DE交BC于F，则DF∶FE等于()图4A．5∶2B．2∶1C．3∶1D．4∶1【解析】过D作DG∥AC，交BC于G，则DG＝DB＝3CE，即CE∶DG＝1∶3.易知△DFG∽△EFC，∴DF∶FE＝DG∶CE，所以DF∶FE＝3∶1.【答案】C5．如图5所示，梯形ABCD的对角线交于点O，则下列四个结论：图5①△AOB∽△COD；②△AOD∽△ACB；③S△DOC∶S△AOD＝CD∶AB；④S△AOD＝S△BOC.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】∵DC∥AB，∴△AOB∽△COD，①正确．由①知，DCAB＝OCOA.S△DOC∶S△AOD＝OC∶OA＝CD∶AB，③正确．∵S△ADC＝S△BCD，∴S△ADC－S△COD＝S△BCD－S△COD，∴S△AOD＝S△BOC，④正确．故①③④正确．【答案】C6．如图6所示，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高()图6A．11.25mB．6.6mC．8mD．10.5m【解析】本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如图，等腰△AOC∽等腰△BOD，OA＝1m，OB＝16m，高CE＝0.5m，求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB＝CE∶DF，即1∶16＝0.5∶DF，解得DF＝8m.【答案】C7．如图7所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40cm2，S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为()图7A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm【解析】∵∠BAD＝90°，AE⊥BD，∴△ABE∽△DBA.∴S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2.∵S△ABE∶S△DBA＝1∶5，∴AB2∶DB2＝1∶5，∴AB∶DB＝1∶5.设AB＝k，DB＝5k，则AD＝2k.∵S矩形＝40cm2，∴k·2k＝40，∴k＝25，∴BD＝5k＝10，AD＝45，S△ABD＝12BD·AE＝20，即12×10·AE＝20，∴AE＝4cm.【答案】A8．如图8，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，若AB＝2，则此三角形移动的距离AA′是()【导学号：07370025】图8A.2－1B.22C．1D.12【解析】由题意可知，阴影部分与△ABC相似，且等于△ABC面积的12，∴A′B∶AB＝12＝1∶2.又∵AB＝2，∴A′B＝1，∴AA′＝2－1.【答案】A9．如图9所示，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则BD∶AD＝()图9A.13B.14C.23D.25【解析】设CD＝3，则AD＝3，BD＝1，∴BDAD＝13.【答案】A10．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(ADBD)，若CD＝6，则AD的长为()A．8B．9C．10D．11【解析】如图，连接AC，CB.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.设AD＝x，∵CD⊥AB于D，由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵ADBD，∴AD＝9.【答案】B11.某社区计划在一块上、下底边长分别是10米，20米的梯形空地上种植花木(如图10所示)，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，还需资金()图10A．500元B．1500元C．1800元D．2000元【解析】在梯形ABCD中，AD∥BC，∴△AMD∽△BMC，AD＝10m，BC＝20m，S△AMDS△BMC＝10202＝14，∵S△AMD＝500÷10＝50(m2)，∴S△BMC＝200m2，则还需要资金200×10＝2000(元)．【答案】D12．如图11所示，将一个矩形纸片BADC沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比应为()图11A．1∶2B．1∶3C.2∶1D.3∶1【解析】∵矩形AEFB∽矩形ABCD，∴BF∶AB＝AB∶AD.∵BF＝12AD，∴AB2＝12AD2，∴AD∶AB＝2∶1.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)13．如图12，已知DE∥BC，且BF∶EF＝4∶3，则AC∶AE＝________.图12【解析】∵DE∥BC，∴BCDE＝BFEF，同理ACAE＝BCDE，∴ACAE＝BCDE＝BFEF＝43.【答案】4∶314．如图13，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于________米.【导学号：07370026】图13【解析】如图，GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB.∴△GCD∽△ABD，∴DCDB＝GCAB.设BC＝x，则1x＋1＝1.5AB，同理，得2x＋5＝1.5AB.∴1x＋1＝2x＋5，∴x＝3，∴13＋1＝1.5AB，∴AB＝6(米)．【答案】615．如图14所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，且AD，BE交于点G，那么S△BDGS△ABC＝________.图14【解析】∵AD，BE是△ABC的中线，且AD交BE于G，∴G是△ABC的重心，∴DGAD＝13，∴S△BDGS△ABD＝13，又∵D为BC的中点，∴S△ABDS△ABC＝12，∴S△BDGS△ABC＝16.【答案】1616．如图15，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则DE＝________.图15【解析】法一：因为AB＝3，BC＝3，所以AC＝32＋32＝23，tan∠BAC＝33＝3，所以∠BAC＝π3.在Rt△BAE中，AE＝ABcosπ3＝32，则CE＝23－32＝332.在△ECD中，DE2＝CE2＋CD2－2CE·CDcos∠ECD＝3322＋(3)2－2×332×3×12＝214，故DE＝212.法二：如图，作EM⊥AB交AB于点M，作EN⊥AD交AD于点N.因为AB＝3，BC＝3，所以tan∠BAC＝33＝3，则∠BAC＝π3，AE＝ABcosπ3＝32，NE＝AM＝AEcosπ3＝32×12＝34，AN＝ME＝AEsinπ3＝32×32＝34，ND＝3－34＝94.在Rt△DNE中，DE＝NE2＋ND2＝342＋942＝212.【答案】212三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图16，点E是四边形ABCD的对角线上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.图16(1)求证：BE·AD＝CD·AE；(2)根据图形的特点，猜想BCDE可能等于哪两条线段的比(只写出图中一组比即可)？并证明你的猜想．【解】(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠DAC.∵∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC，∴△ABE∽△ACD，∴BECD＝AEAD，即BE·AD＝CD·AE.(2)猜想：BCDE＝ABAEACAD.证明：∵由(1)△ABE∽△ACD，∴ABAC＝AEAD，又∵∠BAC＝∠EAD，∴△BAC∽△EAD，∴BCDE＝ABAEACAD.18．(本小题满分12分)如图17，已知正方形ABCD的边长为4，P为AB上的一点，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，试求PQ的长．图17【解】∵PQ⊥PC，∴∠APQ＋∠BPC＝90°，∴∠APQ＝∠BCP，∴Rt△APQ∽Rt△BCP.∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，∴PB＝3，AP＝1，∴APBC＝AQBP，即AQ＝AP·BPBC＝1×34＝34，∴PQ＝AQ2＋AP2＝916＋1＝54.19．(本小题满分12分)在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，求∠BCA的度数．【解】(1)当AD在△ABC内部时，如图(1)，由AD2＝BD·DC，可得△ABD∽△CAD.∴∠BCA＝∠BAD＝65°；(2)当AD在△ABC外部时，如图(2)，由AD2＝BD·DC，得△ABD∽△CAD，∴∠B＝∠CAD＝25°，∴∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°.故∠BCA等于65°或115°.20．(本小题满分12分)如图18所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE＝103，连接DE交BC于点F，AC＝4，BC＝3.求证：图18(1)△ABC∽△EDC；(2)DF＝EF.【证明】(1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5.∵D为斜边AB的中点，∴AD＝BD＝CD＝12AB＝2.5，∴CDCE＝2.5103＝34＝BCAC，∴△ABC∽△EDC.(2)由(1)知，∠B＝∠CDF，∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，∴∠CDF＝∠DCF.∴DF＝CF.①由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD.∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF.②由①②，知DF＝EF.21．(本小题满分12分)已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，直线MN是梯形的对称轴，P是MN上的一点，直线BP交直线DC于F，交CE于E，且CE∥AB.(1)若点P在梯形内部，如图19(1)．求证：BP2＝PE·PF.(2)若点P在梯形的外部，如图19(2)，那么(1)的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(1)(2)图19【解】(1)证明：连接PC，因为MN是梯形ABCD的对称轴，所以PB＝PC，∠PBC＝∠PCB.因为梯形ABCD是等腰梯形，所以∠ABC＝∠DCB，即∠ABP＋∠PBC＝∠PCB＋∠DCP，所以∠ABP＝∠DCP.又因为CE∥AB，所以∠E＝∠ABP＝∠DCP，而∠CPE＝∠FPC，所以△CPE∽△FPC.所以PEPC＝PCPF，即PC2＝PE·PF，又因为PC＝BP，所以BP2＝PE·PF.(2)结论成立．证明如下