高中数学人教A版选修41课时跟踪检测十与圆有关的比例线段Word版含解析

课时跟踪检测(十)与圆有关的比例线段一、选择题1．在半径为12cm的圆中，垂直平分半径的弦的长为()A．33cmB．27cmC．123cmD．63cm解析：选C法一：如图所示，OA＝12，CD为OA的垂直平分线，连接OD.在Rt△POD中，PD＝OD2－OP2＝122－62＝63，∴CD＝2PD＝123(cm)．法二：如图，延长AO交⊙O于M，由相交弦定理得PA·PM＝PC·PD.又∵CD为线段OA的垂直平分线，∴PD2＝PA·PM.又∵PA＝6，PM＝6＋12＝18，∴PD2＝6×18.∴PD＝63.∴CD＝2PD＝123(cm)．2．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是()A．ABCECDB．AB＝CECDC．ABCDCED．AB＝CD＝CE解析：选A因为∠1＝60°，∠2＝65°，所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，所以∠2∠1∠ABC，所以ABBCAC.因为CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点，所以AC＝CD，BC＝CE，所以ABCECD.3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析：选A在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.4.如图，已知PT切⊙O于点T，TC是⊙O的直径，割线PBA交TC于点D，交⊙O于B，A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，则PB等于()A．20B．10C．5D．85解析：选A∵DA＝3，DB＝4，DC＝2，∴由相交弦定理得DB·DA＝DC·DT，即DT＝DB·DADC＝4×32＝6.∵TC为⊙O的直径，所以PT⊥DT.设PB＝x，则在Rt△PDT中，PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36.由切割线定理得PT2＝PB·PA＝x(x＋7)，∴(4＋x)2－36＝x(x＋7)，解得x＝20，即PB＝20.二、填空题5．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，AM＝4，BM＝9，则弦CD的长为________．解析：根据相交弦定理，AM·BM＝CD22，所以CD2＝6，CD＝12.答案：126.如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.解析：因为直线PB是圆的切线，所以∠PBA＝∠C.又因为∠PBA＝∠DBA，所以∠DBA＝∠C.又因为∠A＝∠A，所以△ABD∽△ACB，所以ADAB＝ABAC，所以AB＝AD·AC＝mn.答案：mn7．如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝2a3，∠OAP＝30°，则CP＝________.解析：∵点P为弦AB的中点，∴OP⊥AB.∵∠OAP＝30°，OA＝a，∴PA＝32a，PB＝32a.由相交弦定理，得PA·PB＝PD·CP.∴CP＝PA·PBPD＝32a×32a2a3＝98a.答案：98a三、解答题8.如图，已知PA，PB，DE分别切⊙O于A，B，C三点，PO＝13cm，⊙O半径r＝5cm.求△PDE的周长．解：∵PA，PB，DE分别切⊙O于A，B，C三点，∴DA＝DC，EB＝EC.∴△PDE的周长为PA＋PB＝2PA.连接OA，则OA⊥PA.∴PA＝PO2－OA2＝132－52＝12(cm)．∴△PDE的周长为24cm.9．如图，BC是半圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AD⊥BC于点D.(1)若∠B＝30°，AB与AP是否相等？请说明理由；(2)求证：PD·PO＝PC·PB；(3)若BD∶DC＝4∶1，且BC＝10，求PC的长．解：(1)相等．连接AO，如图所示．∵PA是半圆的切线，∴∠OAP＝90°.∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB.∴∠AOD＝2∠B＝60°.∴∠APO＝30°.∴∠B＝∠APO.∴AB＝AP.(2)证明：在Rt△OAP中，∵AD⊥OP，∴PA2＝PD·PO.∵PA是半圆的切线，∴PA2＝PC·PB.∴PD·PO＝PC·PB.(3)∵BD∶DC＝4∶1，且BC＝10，∴BD＝8，CD＝2.∴OD＝3.∵OA2＝OD·OP，∴25＝3×OP.∴OP＝253.∴PC＝253－5＝103.10.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F.AD，BE相交于点G，连接BD.(1)求BD的长；(2)求∠ABE＋2∠D的度数；(3)求BGAG的值．解：(1)连接OC，因为AB是小圆的切线，C是切点，所以OC⊥AB，所以C是AB的中点．因为AD是大圆的直径，所以O是AD的中点．所以OC是△ABD的中位线．所以BD＝2OC＝10.(2)连接AE.由(1)知C是AB的中点．同理F是BE的中点．即AB＝2BC，BE＝2BF，由切线长定理得BC＝BF.所以BA＝BE.所以∠BAE＝∠E.因为∠E＝∠D，所以∠ABE＋2∠D＝∠ABE＋∠E＋∠BAE＝180°.(3)连接BO，在Rt△OCB中，因为OB＝13，OC＝5，所以BC＝12，AB＝24.由(2)知∠OBG＝∠OBC＝∠OAC.因为∠BGO＝∠AGB，所以△BGO∽△AGB.所以BGAG＝BOAB＝1324.