高中数学人教A版选修41课时跟踪检测四相似三角形的性质Word版含解析

课时跟踪检测(四)相似三角形的性质一、选择题1．如图，△ABC中，DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4cm，则DB等于()A．2cmB．6cmC．4cmD．8cm解析：选D由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，∴ADAB＝AEAC，∴ADDB＝AEEC＝12.∴DB＝4×2＝8(cm)．2.如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，AE交对角线BD于点G，且△BEG的面积是1cm2，则▱ABCD的面积为()A．8cm2B．10cm2C．12cm2D．14cm2解析：选C因为AD∥BC，所以△BEG∽△DAG，因为BE＝EC，所以BEBC＝BEDA＝12.所以S△BEGS△DAG＝BEDA2＝14，即S△DAG＝4S△BEG＝4(cm2)．又因为AD∥BC，所以AGEG＝DABE＝2，所以S△BAGS△BEG＝AGEG＝2，所以S△BAG＝2S△BEG＝2(cm2)，所以S△ABD＝S△BAG＋S△DAG＝2＋4＝6(cm2)，所以S▱ABCD＝2S△ABD＝2×6＝12(cm2)．3．如图所示，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是()A．5B．8.2C．6.4D．1.8解析：选D∵△CBF∽△CDE，∴BFDE＝CBCD.∴BF＝DE·CBCD＝3×610＝1.8.4．如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是()A．10B．12C．16D．18解析：选C∵AB∥EF∥CD，∴AEEC＝ABDC＝2080＝14.∴EFAB＝ECAC＝45.∴EF＝45AB＝45×20＝16.二、填空题5．(广东高考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F,则△CDF的周长△AEF的周长＝________.解析：由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，于是△CDF的周长△AEF的周长＝CDAE＝ABAE＝3.答案：36．如图，在△ABC中有一个矩形EFGH，其顶点E，F分别在AC，AB上，G，H在BC上，若EF＝2FG，BC＝20，△ABC的高AD＝10，则FG＝________.解析：设FG＝x，因为EF＝2FG，所以EF＝2x.因为EF∥BC，所以△AFE∽△ABC，所以AMAD＝EFBC，即10－x10＝2x20，解得x＝5，即FG＝5.答案：57．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD＝40cm2.S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为________．解析：因为∠BAD＝90°，AE⊥BD，所以△ABE∽△DBA.所以S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2.因为S△ABE∶S△DBA＝1∶5，所以AB∶DB＝1∶5.设AB＝kcm，DB＝5kcm，则AD＝2kcm.因为S矩形ABCD＝40cm2，所以k·2k＝40，所以k＝25(cm)．所以BD＝5k＝10(cm)，AD＝45(cm)．又因为S△ABD＝12BD·AE＝20，所以12·10·AE＝20.所以AE＝4(cm)．答案：4cm三、解答题8．如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为AB的中点，E是AC上的点，BE，CD交于点M.若AC＝3AE，求∠EMC的度数．解：如图，作EF⊥BC于点F，设AB＝AC＝3，则AD＝32，BC＝32，CE＝2，EF＝FC＝2.∴BF＝BC－FC＝22.∴EF∶BF＝2∶22＝1∶2＝AD∶AC.∴△FEB∽△ADC，∴∠2＝∠1.∵∠EMC＝∠2＋∠MCB，∴∠EMC＝∠1＋∠MCB＝∠ACB＝45°.9.如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝12CD.(1)求证：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD.∴∠ABF＝∠E.∴△ABF∽△CEB.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.∵DE＝12CD，∴S△DEFS△CEB＝DEEC2＝19，S△DEFS△ABF＝DEAB2＝14.∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8，∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16.∴S▱ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.10．如图所示，甲、乙、丙三位同学欲测量旗杆AB的高度，甲在操场上C处直立3m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶端B重合，量得CE＝3m，乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5m；丙在C1处也直立3m高的竹竿C1D1，乙从E处退后6m到E1处，恰好看到竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，量得C1E1＝4m，求旗杆AB的高．解：设F1F与AB，CD，C1D1分别交于点G，M，N，GB＝xm，GM＝ym.因为MD∥GB，所以∠BGF＝∠DMF，∠GBF＝∠MDF，所以△BGF∽△DMF，所以MDGB＝MFGF.又因为MD＝CD－CM＝CD－EF＝1.5(m)，所以1.5x＝33＋y.①又因为ND1∥GB，同理可证得△BGF1∽△D1NF1，所以ND1GB＝NF1GF1，即1.5x＝4y＋3＋6.②解方程①②组成的方程组，得x＝9，y＝15.又AB＝GB＋GA＝9＋1.5＝10.5(m)，即旗杆AB的高为10.5m.