高中数学人教A版选修41阶段质量检测二A卷Word版含解析

阶段质量检测(二)A卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角是()A．42°B．138°C．84°D．42°或138°答案：D2.如图，在⊙O中，弦AB长等于半径，E为BA延长线上一点，∠DAE＝80°，则∠ACD的度数是()A．60°B．50°C．45°D．30°解析：选B∠BCD＝∠DAE＝80°，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12AC，∴∠ACB＝30°.∴∠ACD＝80°－30°＝50°.3．如图所示，在半径为2cm的⊙O内有长为23cm的弦AB.则此弦所对的圆心角∠AOB为()A．60°B．90°C．120°D．150°解析：选C作OC⊥AB于C，则BC＝3，在Rt△BOC中，cos∠B＝BOOB＝32.∴∠B＝30°.∴∠BOC＝60°.∴∠AOB＝120°.4.如图，已知⊙O的半径为5，两弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝8，CE∶ED＝4∶9，则圆心到弦CD的距离为()A.2143B.289C.273D.809解析：选A过O作OH⊥CD，连接OD，则DH＝12CD.由相交弦定理知，AE·BE＝CE·DE.设CE＝4x，则DE＝9x，∴4×4＝4x×9x，解得x＝23，∴OH＝OD2－DH2＝52－1332＝2143.5.如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，且PB＝BC，PA＝32，那么BC的长为()A.3B．23C．3D．33解析：选C根据切割线定理PA2＝PB·PC，所以(32)2＝2PB2.所以PB＝3＝BC.6．两个同心圆的半径分别为3cm和6cm，作大圆的弦MN＝63cm，则MN与小圆的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析：选A作OA⊥MN于A.连接OM.则MA＝12MN＝33.在Rt△OMA中，OA＝OM2－AM2＝3cm.∴MN与小圆相切．7.如图，⊙O的两条弦AD和CB相交于点E，AC和BD的延长线相交于点P，连接AB，CD，下面结论：①PA·PC＝PD·PB；②PC·CA＝PB·BD；③CE·CD＝BE·BA；④PA·CD＝PD·AB.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A根据割线定理及相交弦定理知只有①式正确．8．已知⊙O的两条弦AB，CD交于点P，若PA＝8cm，PB＝18cm，则CD的长的最小值为()A．25cmB．24cmC．20cmD．12cm解析：选B设CD＝acm，CD被P分成的两段中一段长xcm，另一段长为(a－x)cm.则x(a－x)＝8×18，即8×18≤x＋a－x22＝14a2.所以a2≥576＝242，即a≥24.当且仅当x＝a－x，即x＝12a＝12时等号成立．所以CD的长的最小值为24cm.9．如图，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC，BC，AB＝10，tan∠BAC＝34，则阴影部分的面积为()A.252πB.252π－24C．24D.252π＋24解析：选B∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵tan∠BAC＝34，∴sin∠BAC＝35.又∵sin∠BAC＝BCAB，AB＝10，∴BC＝35×10＝6.AC＝43×BC＝43×6＝8，∴S阴影＝S半圆－S△ABC＝12×π×52－12×8×6＝252π－24.10．(天津高考)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是()A．①②B．③④C．①②③D．①②④解析：选D由弦切角定理可得∠DBF＝∠DAB，又∠CBD＝∠CAD＝∠DAB，所以∠DBF＝∠CBD，即BD是∠CBF的平分线，所以①正确；由切割线定理可得②正确；由相交弦定理可得AECE＝BEDE，所以③错误；因为△ABF∽△BDF，所以ABAF＝BDBF，即AF·BD＝AB·BF，所以④正确．故正确结论的序号是①②④.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)11.如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝45°，则∠AEC＝________.解析：如图，连接BC.根据圆周角定理的推论1，可知∠ACB＝90°.∵∠ACD＝60°，∴∠DCB＝30°，»BD的度数＝60°.∵∠ADC＝45°，∴¼AC的度数＝90°.∴∠AEC＝∠DCB＋∠CBE＝12(»BD＋¼AC)的度数＝75°.答案：75°12．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.解析：由相交弦定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD与△FED相似，得DF·DB＝ED2＝5.答案：513．如图，PA与⊙O相切于点A，过点P的割线与弦AC交于点B，与⊙O交于D，E两点，且PA＝PB＝BC，若PD＝4，DE＝21，则AB＝________.解析：由切割线定理知PA2＝PD·PE＝4×25＝100，∴PA＝10，∴BD＝PB－PD＝PA－PD＝10－4＝6，BE＝DE－BD＝21－6＝15，又AB·BC＝BE·BD，BC＝PA＝10，∴AB＝BE·BDBC＝15×610＝9.答案：914．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，圆E过A，B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝5－1，则AC＝________.解析：∵AB＝AC，∠C＝72°，∴∠ABC＝72°，则∠BAC＝36°.∵BC切圆E于点B，∴∠CBD＝∠BAC＝36°，∴∠ABD＝∠BAC＝36°，∴∠BDC＝∠ABD＋∠BAC＝36°＋36°＝72°，∴∠C＝∠BDC，∴AD＝BD＝BC＝5－1，设CD＝x，由切割线定理得BC2＝CD·AC，即(5－1)2＝x·(x＋5－1)，即x2＋(5－1)x－(5－1)2＝0，由于x0，解得x＝3－5，∴AC＝CD＋AD＝(3－5)＋(5－1)＝2.答案：2三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，E是圆O内两弦AB和CD的交点，过AD延长线上一点F作圆O的切线FG，G为切点，已知EF＝FG.求证：(1)△DEF∽△EAF；(2)EF∥CB.证明：(1)由切割线定理得FG2＝FA·FD.又EF＝FG，所以EF2＝FA·FD，即EFFA＝FDEF.因为∠EFA＝∠DFE，所以△DEF∽△EAF.(2)由(1)得∠FED＝∠FAE.因为∠FAE＝∠DCB，所以∠FED＝∠BCD，所以EF∥CB.16．(本小题满分12分)(江苏高考)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点．证明：∠OCB＝∠D.证明：因为B，C是圆O上的两点，所以OB＝OC.故∠OCB＝∠B.又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.17．(本小题满分12分)如图，AF是⊙O的直径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，DE⊥OB，垂足为E.求证：(1)D是AB的中点；(2)DE是⊙C的切线；(3)BE·BF＝2AD·ED.证明：(1)连接OD.∵OA为⊙C的直径，∴OD⊥AB.又∵OD过⊙O的圆心，∴D为AB的中点．(2)连接CD.∵C为OA的中点，D为AB的中点，∴CD∥OB.又∵DE⊥OB，∴CD⊥DE，即DE为⊙C的切线．(3)∵AF为⊙O的直径，∴∠ABF＝90°.∵DE⊥OB，∴∠BED＝90°.∴∠ABF＝∠BED.又∵OA＝OB，∴∠BAF＝∠EBD.∴△ABF∽△BED.∴ABBE＝BFED，即BE·BF＝AB·ED.又AB＝2AD，∴BE·BF＝2AD·ED.18．(本小题满分14分)如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．解：(1)证明：如图，连接OP，OM.∵AP与⊙O相切于点P，∴OP⊥AP.∵M是⊙O的弦BC的中点，∴OM⊥BC.于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，∴A，P，O，M四点共圆．(2)由(1)得A，P，O，M四点共圆，∴∠OAM＝∠OPM.由(1)得OP⊥AP.由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°.∴∠OAM＋∠APM＝90°.