高中数学人教A版选修44课时跟踪检测十椭圆的参数方程Word版含解析

课时跟踪检测(十)椭圆的参数方程一、选择题1．椭圆x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ等于()A．πB.π2C．2πD.3π2解析：选A∵点(－a,0)中x＝－a，∴－a＝acosθ，∴cosθ＝－1，∴θ＝π.2．已知椭圆的参数方程x＝2cost，y＝4sint(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝π3，点O为原点，则直线OM的斜率为()A.3B．－33C．23D．－23解析：选C点M的坐标为(1,23)，∴kOM＝23.3．直线x4＋y3＝1与椭圆x216＋y29＝1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB的面积等于4，这样的点P共有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B设椭圆上一点P1的坐标为(4cosθ，3sinθ)，θ∈0，π2，如图所示，则S四边形P1AOB＝S△OAP1＋S△OBP1＝12×4×3sinθ＋12×3×4cosθ＝6(sinθ＋cosθ)＝62sinθ＋π4.当θ＝π4时，S四边形P1AOB有最大值为62.所以S△ABP1≤62－S△AOB＝62－6＜4.故在直线AB的右上方不存在点P使得△PAB的面积等于4，又S△AOB＝6＞4，所以在直线AB的左下方，存在两个点满足到直线AB的距离为85，使得S△PAB＝4.故椭圆上有两个点使得△PAB的面积等于4.4．两条曲线的参数方程分别是x＝cos2θ－1，y＝1＋sin2θ(θ为参数)和x＝3cost，y＝2sint(t为参数)，则其交点个数为()A．0B．1C．0或1D．2解析：选B由x＝cos2θ－1，y＝1＋sin2θ，得x＋y－1＝0(－1≤x≤0,1≤y≤2)，由x＝3cost，y＝2sint得x29＋y24＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．二、填空题5．椭圆x＝－4＋2cosθ，y＝1＋5sinθ(θ为参数)的焦距为________．解析：椭圆的普通方程为x＋424＋y－1225＝1.∴c2＝21，∴2c＝221.答案：2216．实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则2x＋3y的最大值是________．解析：因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，所以设x＝2cosα，y＝3sinα，则2x＋3y＝4cosα＋3sinα＝5sin(α＋φ)，其中sinφ＝45，cosφ＝35.当sin(α＋φ)＝1时，2x＋3y有最大值为5.答案：57．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数，a＞b＞0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsinθ＋π4＝22m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为____________．解析：l的直角坐标方程为x＋y＝m，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝b2，由直线l与圆O相切，得m＝±2b.从而椭圆的一个焦点为(2b,0)，即c＝2b，所以a＝3b，则离心率e＝ca＝63.答案：63三、解答题8．已知两曲线参数方程分别为x＝5cosθ，y＝sinθ(0≤θπ)和x＝54t2，y＝t(t∈R)，求它们的交点坐标．解：将x＝5cosθy＝sinθ(0≤θ＜π)化为普通方程，得x25＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－5)，将x＝54t2，y＝t代入，得516t4＋t2－1＝0，解得t2＝45，∴t＝255(∵y＝t≥0)，x＝54t2＝54·45＝1，∴交点坐标为1，255.9．对于椭圆x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)，如果把横坐标缩短为原来的1a，再把纵坐标缩短为原来的1b即得到圆心在原点，半径为1的圆的参数方程x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．那么，若把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论圆的离心率，并进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的关系．解：设圆的参数方程为x＝rcosθ，y＝rsinθ(θ为参数)，如果将该圆看成椭圆，那么在椭圆中对应的数值分别为a＝b＝r，所以c＝a2－b2＝0，则离心率e＝ca＝0.即把圆看成椭圆，其离心率为0，而椭圆的离心率的范围是(0,1)，可见椭圆的离心率越小即越接近于0，形状就越接近于圆，离心率越大，椭圆越扁．10．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为4，π2，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P4，π2化为直角坐标，得P(0,4)．因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(3cosα，sinα)，从而点Q到直线l的距离为d＝|3cosα－sinα＋4|2＝2cosα＋π6＋42＝2cosα＋π6＋22.由此得，当cosα＋π6＝－1时，d取得最小值，且最小值为2.