高中数学人教版A版选修21配套课时作业第二章圆锥曲线与方程单元检测A卷Word版

第二章圆锥曲线与方程(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是()A.14B.12C．2D．42．设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m0，n0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为()A.x212＋y216＝1B.x216＋y212＝1C.x248＋y264＝1D.x264＋y248＝13．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为()A.x236－y2108＝1B.x29－y227＝1C.x2108－y236＝1D.x227－y29＝14．P是长轴在x轴上的椭圆x2a2＋y2b2＝1上的点，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是()A．1B．a2C．b2D．c25．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A.x24－y24＝1B.y24－x24＝1C.y24－x28＝1D.x28－y24＝16．设a1，则双曲线x2a2－y2a＋12＝1的离心率e的取值范围是()A．(2，2)B．(2，5)C．(2,5)D．(2，5)7.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是()A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线8．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|等于()A．9B．6C．4D．39．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A．(1,2]B．(1,2)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)10．若动圆圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点()A．(4,0)B．(2,0)C．(0,2)D．(0，－2)11．抛物线y＝x2上到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是()A.32，54B．(1,1)C.32，94D．(2,4)12．已知椭圆x2sinα－y2cosα＝1(0≤α2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是()A.34π，πB.π4，34πC.π2，πD.π2，34π题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．14．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．15．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，线段F1F2被点b2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．16．对于曲线C：x24－k＋y2k－1＝1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②当1k4时，曲线C表示椭圆；③若曲线C表示双曲线，则k1或k4；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1k52.其中所有正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知点M在椭圆x236＋y29＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，求P点的轨迹方程．18．(12分)双曲线C与椭圆x28＋y24＝1有相同的焦点，直线y＝3x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．19.(12分)直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若线段AB中点的横坐标等于2，求弦AB的长．20．(12分)已知点P(3,4)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF1F2的面积．21.(12分)已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝52p，求AB所在的直线方程．22．(12分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．(1)写出C的方程；(2)若OA⊥OB，求k的值．第二章圆锥曲线与方程(A)1．A[由题意可得21m＝2×2，解得m＝14.]2．B[∵y2＝8x的焦点为(2,0)，∴x2m2＋y2n2＝1的右焦点为(2,0)，∴mn且c＝2.又e＝12＝2m，∴m＝4.∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.∴椭圆方程为x216＋y212＝1.]3．B[抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，故双曲线中c＝6.①由双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线方程为y＝3x，知ba＝3，②且c2＝a2＋b2.③由①②③解得a2＝9，b2＝27.故双曲线的方程为x29－y227＝1，故选B.]4．D[由椭圆的几何性质得|PF1|∈[a－c，a＋c]，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋|PF2|22＝a2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．|PF1|·|PF2|＝|PF1|(2a－|PF1|)＝－|PF1|2＋2a|PF1|＝－(|PF1|－a)2＋a2≥－c2＋a2＝b2，所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为a2－b2＝c2.]5．B[由于双曲线的顶点坐标为(0,2)，可知a＝2，且双曲线的标准方程为y24－x2b2＝1.根据题意2a＋2b＝2·2c，即a＋b＝2c.又a2＋b2＝c2，且a＝2，∴解上述两个方程，得b2＝4.∴符合题意的双曲线方程为y24－x24＝1.]6．B[∵双曲线方程为x2a2－y2a＋12＝1，∴c＝2a2＋2a＋1.∴e＝ca＝2＋1a2＋2a＝1a＋12＋1.又∵a1，∴01a1.∴11a＋12.∴11＋1a24.∴2e5.]7．D[∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，∴D1C1⊥侧面BCC1B1.∴D1C1⊥PC1.∴PC1为P到直线D1C1的距离．∵P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，∴PC1等于P到直线BC的距离．由圆锥曲线的定义知，动点P的轨迹所在的曲线是抛物线．]8．B[设A、B、C三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，F(1,0)，∵FA＋FB＋FC＝0，∴x1＋x2＋x3＝3.又由抛物线定义知|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6.]9．C[如图所示，要使过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率ba，∴ba≥3，离心率e2＝c2a2＝a2＋b2a2≥4，∴e≥2.]10．B[根据抛物线的定义可得．]11．B[设与直线2x－y＝4平行且与抛物线相切的直线为2x－y＋c＝0(c≠－4)，由2x－y＋c＝0y＝x2得x2－2x－c＝0.①由Δ＝4＋4c＝0得c＝－1，代入①式得x＝1.∴y＝1，∴所求点的坐标为(1,1)．]12．D[椭圆方程化为x21sinα＋y2－1cosα＝1.∵椭圆焦点在y轴上，∴－1cosα1sinα0.又∵0≤α2π，∴π2α3π4.]13.32解析由已知得∠AF1F2＝30°，故cos30°＝ca，从而e＝32.14．2x－y－15＝0解析设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21－4y21＝4，x22－4y22＝4，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.因为线段AB的中点为P(8,1)，所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.所以y1－y2x1－x2＝x1＋x24y1＋y2＝2.所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，代入x2－4y2＝4满足Δ0.即2x－y－15＝0.15.22解析由题意，得b2＋cc－b2＝3⇒b2＋c＝3c－32b⇒b＝c，因此e＝ca＝c2a2＝c2b2＋c2＝12＝22.16．③④解析①错误，当k＝2时，方程表示椭圆；②错误，因为k＝52时，方程表示圆；验证可得③④正确．17．解设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)．∵点M在椭圆x236＋y29＝1上，∴x2036＋y209＝1.∵M是线段PP′的中点，∴x0＝x，y0＝y2，把x0＝xy0＝y2代入x2036＋y209＝1，得x236＋y236＝1，即x2＋y2＝36.∴P点的轨迹方程为x2＋y2＝36.18．解设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由椭圆x28＋y24＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，∴对于双曲线C：c＝2.又y＝3x为双曲线C的一条渐近线，∴ba＝3，解得a2＝1，b2＝3，∴双曲线C的方程为x2－y23＝1.19．解将y＝kx－2代入y2＝8x中变形整理得：k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，由k≠04k＋82－16k20，得k－1且k≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得：x1＋x2＝4k＋8k2＝4⇒k2＝k＋2⇒k2－k－2＝0.解得：k＝2或k＝－1(舍去)，由弦长公式得：|AB|＝1＋k2·64k＋64k2＝5×1924＝215.20．解(1)令F1(－c,0)，F2(c,0)，则b2＝a2－c2.因为PF1⊥PF2，所以kPF1·kPF2＝－1，即43＋c·43－c＝－1，解得c＝5，所以设椭圆方程为x2a2＋y2a2－25＝1.因为点P(3,4)在椭圆上，所以9a2＋16a2－25＝1.解得a2＝45或a2＝5.又因为ac，所以a2＝5舍去．故所求椭圆方程为x245＋y220＝1.(2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝65，①又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，②①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，所以S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝20.21．解焦点F(p2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB⊥Ox，则|AB|＝2p52p，不合题意．所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k(x－p2)，k≠0.由y＝kx－p2，y2＝2px消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.由韦达定理得，y1＋y2＝2pk，y1y2＝－p2.∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋1k2·y1－y22＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2＝2p(1＋1k2)＝52p.解得k＝±2.∴AB所在的直线方程为y＝2(x－p2)或y＝－2(x－p2)．22．解(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－3)、(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b＝22－32＝1，故曲线C的方程为x2＋y24＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程x2＋y24＝1，y＝kx＋1.消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.其中Δ＝4k2＋12(k2＋4)0恒成立．故x1＋x2＝－2kk2＋4，x1x2＝－3k2＋4.若OA→⊥OB→，即x1x2＋y1y2＝0.而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，于是x1x2＋y1y2＝－3k2＋4－3k2k2＋4－2k2k2＋4＋1＝0，化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±12.