高中数学人教版必修5配套练习11正弦定理和余弦定理第3课时

第一章1.1第3课时一、选择题1．在△ABC中，若sinAa＝cosBb，则角B等于()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]B[解析]由正弦定理知sinAa＝sinBb，∵sinAa＝cosBb，∴sinB＝cosB，∵0°B180°，∴B＝45°.2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cosC＝1314，则最大角的余弦值是()A．－15B．－16C．－17D．－18[答案]C[解析]由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cosA＝b2＋c2－a22bc＝72＋32－822×7×3＝－17.3．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°[答案]B[解析]∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴A＝60°.4．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形[答案]B[解析]∵2sinAcosB＝sin(A＋B)，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.5．在△ABC中，已知a＝x，b＝2，B＝60°，如果△ABC有两解，则x的取值范围是()A．x2B．x2C．2x433D．2x≤433[答案]C[解析]欲使△ABC有两解，须asin60°bA．即32x2x，∴2x433.6．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°[答案]B[解析]∵33＝12×4×3sinC，∴sinC＝32，∵△ABC为锐角三角形，∴C＝60°，故选B.二、填空题7．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.[答案]0[解析]∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.8．在△ABC中，A＝60°，最大边与最小边是方程x2－9x＋8＝0的两个实根，则边BC长为________．[答案]57[解析]∵A＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b，C．又b＋c＝9，bc＝8，∴BC2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc－2bccosA＝92－2×8－2×8×cos60°＝57，∴BC＝57.三、解答题9．在△ABC中，S△ABC＝153，a＋b＋c＝30，A＋C＝B2，求三角形各边边长．[解析]∵A＋C＝B2，∴3B2＝180°，∴B＝120°.由S△ABC＝12acsinB＝34ac＝153得：ac＝60，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cos120°)＝(30－b)2－60得b＝14，∴a＋c＝16∴a，c是方程x2－16x＋60＝0的两根．所以a＝10c＝6或a＝6c＝10，∴该三角形各边长为14,10和6.10．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sinB＝13.(1)求sinA的值；(2)设AC＝6，求△ABC的面积．[解析](1)由sin(C－A)＝1，－πC－Aπ，知C＝A＋π2.又∵A＋B＋C＝π，∴2A＋B＝π2，即2A＝π2－B,0Aπ4.故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝13，sinA＝33.(2)由(1)得cosA＝63.又由正弦定理，得BC＝ACsinAsinB＝32.∴S△ABC＝12·AC·BC·sinC＝12AC·BC·cosA＝32.一、选择题1．在钝角三角形ABC中，若sinAsinBsinC，则()A．cosA·cosC0B．cosB·cosC0C．cosA·cosB0D．cosA·cosB·cosC0[答案]C[解析]由正弦定理得，abc，∴角C是最大角，∴角C为钝角，∴cosC0，cosA0，cosB0.2．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则此三角形一定是()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形[答案]B[解析]由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，又∵b2＝ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∵B＝60°，∴A＝C＝60°.故△ABC是等边三角形．3．在△ABC中，有下列关系式：①asinB＝bsinA；②a＝bcosC＋ccosB；③a2＋b2－c2＝2abcosC；④b＝csinA＋asinC．一定成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]C[解析]对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sinB＝sinCsinA＋sinAsinC＝2sinAsinC，又sinB＝sin(A＋C)＝cosCsinA＋cosAsinC，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C．4．△ABC中，BC＝2，B＝π3，当△ABC的面积等于32时，sinC等于()A．32B．12C．33D．34[答案]B[解析]由正弦定理得S△ABC＝12·AB·BC·sinB＝32AB＝32，∴AB＝1，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1＋4－4×12＝3，∴AC＝3，再由正弦定理，得1sinC＝3sinπ3，∴sinC＝12.二、填空题5．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．[答案]1534[解析]由余弦定理知72＝52＋BC2＋5BC，即BC2＋5BC－24＝0，解之得BC＝3，所以S＝12×5×3×sin120°＝1534.6．已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为__________．[答案]1[解析]如图，AB＝1，BD＝1，BC＝3，设AD＝DC＝x，在△ABD中，cos∠ADB＝x2＋1－12x＝x2，在△BDC中，cos∠BDC＝x2＋1－32x＝x2－22x，∵∠ADB与∠BDC互补，∴cos∠ADB＝－cos∠BDC，∴x2＝－x2－22x，∴x＝1，∴∠A＝60°，由3sin60°＝2R得R＝1.三、解答题7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝14，a＝4，b＋c＝6，且bc，求b，c的值．[解析]∵a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc，a＝4，cosA＝14，∴16＝(b＋c)2－2bc－12bC．又b＋c＝6，∴bc＝8.解方程组b＋c＝6，bc＝8，得b＝2，c＝4，或b＝4，c＝2.又∵bc，∴b＝2，c＝4.8．(2014·浙江理，18)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知a≠b，c＝3，cos2A－cos2B＝3sinAcosA－3sinBcosB.(1)求角C的大小；(2)若sinA＝45，求△ABC的面积．[解析](1)由已知cos2A－cos2B＝3sinAcosA－3sinBcosB得．12(1＋cos2A)－12(1＋cos2B)＝32sin2A－32sin2B，∴12cos2A－32sin2A＝12cos2B－32sin2B，即sin(－π6＋2A)＝sin(－π6＋2B)，∴－π6＋2A＝－π6＋2B或－π6＋2A－π6＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝2π3，∵a≠b，∴A＋B＝2π3，∴∠C＝π3.(2)由(1)知sinC＝32，cosC＝12，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝33＋410由正弦定理得：asinA＝csinC，又∵c＝3，sinA＝45.∴a＝85.∴S△ABC＝12acsinB＝18＋8325.