高中数学人教版必修5配套练习12应用举例第2课时

第一章1.2第2课时一、选择题1．如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳个场馆B、C的俯角分别为α、β，此时气球的高度为h，则两个场馆B、C间的距离为()A．hsinαsinβsinα－βB．hsinβ－αsinαsinβC．hsinαsinβsinα－βD．hsinβsinαsinα－β[答案]B[解析]在Rt△ADC中，AC＝hsinβ，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝ACsinβ－αsinα＝hsinβ－αsinαsinβ.2．某工程中要将一长为100m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长()A．1002mB．1003mC．50(2＋6)mD．200m[答案]A[解析]如图，由条件知，AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)＝25(6＋2)，CD＝100cos75°＝25(6－2)，BD＝ADtan30°＝256＋233＝25(32＋6)．∴BC＝BD－CD＝25(32＋6)－25(6－2)＝1002(m)．3．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为()A．102mB．20mC．203mD．40m[答案]D[解析]设AB＝xm，则BC＝xm，BD＝3xm，在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°，∴x2－20x－800＝0，∴x＝40(m)．4．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是()A．1507minB．157hC．21.5minD．2.15h[答案]A[解析]当时间t2.5h时，如图．∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝6t.在△BCD中，利用余弦定理，得CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.当t＝202×28＝514(h)，即1507min时，CD2最小，即CD最小为6757.当t≥2.5h时，CF＝15×32，CF2＝6754CD2，故距离最近时，t2.5h，即t＝1507min.5．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距()A．103mB．1003mC．2030mD．30m[答案]D[解析]设炮塔顶A、底D，两船B、C，则∠ABD＝45°，∠ACD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30，∴DB＝30，DC＝303，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos30°＝900，∴BC＝30.6．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为()A．5002mB．200mC．10002mD．1000m[答案]D[解析]∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS中，AB＝AS·sin135°sin30°＝1000×2212＝10002，∴BC＝AB·sin45°＝10002×22＝1000(m)．二、填空题7．某海岛周围38nmile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30nmile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁危险(填“有”或“无”)．[答案]无[解析]如图所示，由题意在△ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，由正弦定理，得BC＝ABsin∠BACsin∠ACB＝30sin30°sin15°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt△BDC中，CD＝22BC＝15(3＋1)38.∴此船无触礁的危险．8．甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以anmile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是3anmile/h，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？[答案]北偏东30°[解析]如图，设经过th两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at，AC＝3at，B＝180°－60°＝120°，由BCsin∠CAB＝ACsinB，得sin∠CAB＝BCsinBAC＝at·sin120°3at＝12.∵0°∠CAB90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．三、解答题9．如图所示，两点C、D与烟囱底部在同一水平直线上，在点C1、D1，利用高为1.5m的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是α＝45°和β＝60°，C、D间的距离是12m，计算烟囱的高AB.(精确到0.01m)[解析]在△BC1D1中，∠BD1C1＝120°，∠C1BD1＝15°.由正弦定理C1D1sin∠C1BD1＝BC1sin∠BD1C1，∴BC1＝12sin120°sin15°＝182＋66，∴A1B＝22BC1＝18＋63，则AB＝A1B＋AA1≈29.89(m)．10．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？[解析]设缉私船用t小时在D处追上走私船．在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，∴BC＝6.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠ABC＝ACBCsin∠BAC＝22，∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．∴∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得CDsin∠CBD＝BDsin∠BCD，∴103tsin120°＝10tsin∠BCD，∴sin∠BCD＝12，∴∠BCD＝30°.故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船.一、选择题1．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10000m到达B处，此时测得正前下方目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为()A．2500(3－1)mB．50002mC．4000mD．40002m[答案]A[解析]示意图如图，∠BAC＝30°，∠DBC＝75°，∴∠ACB＝45°，AB＝10000.由正弦定理，得10000sin45°＝BCsin30°，又cos75°＝BDBC，∴BD＝10000·sin30°sin45°·cos75°＝2500(3－1)(m)．2．渡轮以15km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4km/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1km/h)()A．14.5km/hB．15.6km/hC．13.5km/hD．11.3km/h[答案]C[解析]由物理学知识，画出示意图，如图．AB＝15，AD＝4，∠BAD＝120°.在▱ABCD中，D＝60°，在△ADC中，由余弦定理，得AC＝AD2＋CD2－2AD×CD×cosD＝16＋225－4×15＝181≈13.5(km/h)．故选C．3．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建筑物高度为()A．20mB．30mC．40mD．60m[答案]C[解析]设O为塔顶在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝203，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40.4.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为()A．156mB．206mC．256mD．306m[答案]D[解析]设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝2h，PC＝233h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝602＋2h2－4h22×60×2h，①cos∠PBC＝602＋2h2－43h22×60×2h.②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝306或h＝－306(舍去)，即建筑物的高度为306m.二、填空题5．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB＝AC＝10m树根部为C(A、B、C在同一水平面上)，则∠ACB＝________.[答案]30°[解析]如图，AC＝10，∠DAC＝45°，∴DC＝10，∵∠DBC＝30°，∴BC＝103，cos∠ACB＝102＋1032－1022×10×103＝32，∴∠ACB＝30°.6．(2014·新课标Ⅰ文，16)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.[答案]150m[解析]本题考查解三角形中的应用举例．如图，在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，∴AC＝1002.在△AMC中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°，∴∠AMC＝45°.由正弦定理知AMsin60°＝1002sin45°，∴AM＝1003.在Rt△AMN中，∠NAM＝60°，∴MN＝AM·sin60°＝1003×32＝150(m)．三、解答题7.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12nmile，渔船乙以10nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．[解析](1)在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BAC＝α.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14nmile/h.(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsinα＝BCsin120°.即sinα＝ABsin120°BC＝12×3228＝3314.8．据气象台预报，在S岛正东距S岛300km的A处有一台风中心形成，并以每小时30km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270km以内的地区将受到台风的影响．问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．[分析]设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化．S岛是否受台风影响可转化为SB≤270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过th到达B点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB.[解析]如图，设台风中心经过th到达B点，由题意：∠SAB＝90°－30°＝60°，在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，由余弦定理得：SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos∠SAB＝3002＋(30t)2－2·300·30tcos60°.若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|≤270即SB2≤2702，化简整理得t2－10t＋19≤0，解之得5－6≤t≤5＋6，所以从现在起，经过(5－6)hS岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束，持续时间：(5＋